2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题34 三角函数（学生版+解析版）.docx

专题34 三角函数 一、三角函数与相似三角形 【典例】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC=12AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是 　 【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADB+∠EAD＝90°， ∴∠BAC＝∠ADB， ∴△ABC∽△DAB， ∴ABDA ∵BC=12 ∴AD＝2BC， ∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2， ∴AB=2BC 在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC 故答案为：22 【巩固】如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，求 二、三角函数在四边形中的应用 【典例】如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（　　） A．12 B．1 C．22 D 【解答】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3， ∵FC＝2BF， ∴BF＝1，FC＝2， ∴AB＝FC， ∵E是CD的中点， ∴CE=12CD＝ ∴BF＝CE， 在△ABF和△FCE中， AB=FC∠B=∠C ∴△ABF≌△FCE（SAS）， ∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE， ∵∠BAF+∠AFB＝90°， ∴∠CFE+∠AFB＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°， ∴cos∠AEF=2 故选：C． 【巩固】如图，正方形ABCD的边长为32，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝　　． 三、圆中的三角形相似 【典例】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若BC＝6，sin∠BAC=35，求AC和 【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴A、O在线段BC的垂直平分线上， ∴AO⊥BC， 又∵AB＝AC， ∴AO平分∠BAC； （2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示： 则CE是⊙O的直径， ∴∠EBC＝90°，BC⊥BE， ∵∠E＝∠BAC， ∴sinE＝sin∠BAC， ∴BCCE ∴CE=53BC＝ ∴BE=CE2-BC2=8，OA ∵AH⊥BC， ∴BE∥OA， ∴OABE=OD 解得：OD=25 ∴CD＝5+25 ∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE， ∴OH是△CEB的中位线， ∴OH=12BE＝4，CH=12 ∴AH＝5+4＝9， 在Rt△ACH中，AC=AH2 【巩固】 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD． （1）求证：DC＝BC； （2）若AB＝10，AC＝8，求tan∠DCE的值． 巩固练习 1．如图，在网格中．小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A．31010 B．22 C．55 2．下列计算错误的个数是（　　） ①sin60°﹣sin30°＝sin30°； ②sin245°+cos245°＝1； ③(tan60 ④tan30 A．1 B．2 C．3 D．4 3．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）=22，则△ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．如图，半径为1的⊙O中，BC，AC为弦，D，N为BC三等分点，M为AD的中点，则sin∠ACB的值可表示为（　　） A．DN B．DM C．BD D．MN 5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tan∠AFB的值（　　） A．12 B．33 C．49 6．已知sinα+cosα=75，0 A．34 B．43 C．34或 7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B．5 C．3 D．6 8．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx?cosy+cosx?siny．据此判断下列等式成立的是 　（填序号）． ①cos（﹣60°）＝﹣cos60°= ②sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°?cos45°+cos30°?sin45°= ③sin2x＝sin（x+x）＝sinx?cosx+cosx?s