高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 专题13 数学归纳法 （学生版+解析版）.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】 专题13 数学归纳法 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、填空题 1．（2019·全国·高三竞赛）在数列中，，，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.则=_______. 2．（2019·全国·高三竞赛）已知实数列定义为，.设.则中有______个完全平方数. 二、解答题 3．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：，求的通项公式． 4．（2021·全国·高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有. 5．（2021·全国·高三竞赛）已知.证明：当时，. 6．（2018·全国·高三竞赛）设，求证: （1）; （2）． 7．（2018·全国·高三竞赛）设个实数；满足条件 （1）； （2），； （3），. 求证：. 8．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足,,.证明:对任意的, . 9．（2018·全国·高三竞赛）若百位数字为9的位自然数的各位数字之和为，其中，当的值最小时，是多少？ 10．（2019·全国·高三竞赛）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数. 11．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足，，试求． 12．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，且对所有正整数有.求证：存在正整数，使得. 13．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分．求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，． 14．（2018·全国·高三竞赛）正整数数列满足： （1）求； （2）求最小的正整数，使得． 15．（2018·全国·高三竞赛）给定两个数列，满足，;，，证明：对任意的可表为两个正整数的平方和． 16．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得． 17．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：． 18．（2021·全国·高三竞赛）设数列满足.求证：. 19．（2018·全国·高三竞赛）定义在正整数集上，且满足，.求证：对所有整数，有. 20．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中． 21．（2018·全国·高三竞赛）数列满足： ， .求证：对一切，均有.其中表示不大于实数 的最大整数，是斐波那契数列： . 22．（2018·全国·高三竞赛）已知数列．求证：． 23．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数，对于正整数，集合.集族满足如下条件： （1）的每个集合都是的元子集； （2）中的任意两个集合至多有一个公共元素； （3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中. 试求的最大值. 24．（2018·全国·高三竞赛）奥运会排球预选赛有支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有支球队满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个 阶连环套，则对于每个及每支球队，必与另外某些球队组成一个阶连环套． 25．（2019·全国·高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的. 26．（2019·全国·高三竞赛）正整数数列满足：，．试求通项公式． 27．（2019·全国·高三竞赛）设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有. (1)求; (2)假设是100个两两不相等的自然数,求; (3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论. 28．（2018·全国·高三竞赛）设，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：. 29．（2019·全国·高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列，使得，. 30．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件： （a）； （b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）； （c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011. 对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值. 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】 专题13 数学归纳法 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、填空题 1．（2019·全国·高三竞赛）在数列中，，，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.则=_______. 【答案】2009 【详解】由已知得. 下面用数学归纳法证明： . 显然，当n=1时，结论成立. 假设当n=k时，结论成立，即