2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题30 三角形中的边和角（学生版+解析版）.docx

专题30 三角形中的边和角 一、三角形三边的不等关系 【典例】周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是（　　） A．p3≤m＜p2 B．p3＜m＜p2 C．p 【解答】解：三边相等时，m=p 三边不相等时，最长边m＜p 所以，p3≤m 故选：A． 【巩固】已知等腰三角形ABC． （1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长； （2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的腰长． 二、三角形的三线 【学霸笔记】 1. 三角形的高：从顶点向它所对的边画垂线段，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或其延长线相交于同一点，这个点叫作垂心； 2. 三角形的中线：顶点与对边中点间的线段，且三角形三条中线相交于同一点，这个点叫作重心； 3. 三角形的角平分线：顶点与角平分线和对边交点间的线段，三角形的三条角平分线相交于同一点，这个点叫作内心. 【典例】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为60，BD＝5，则△BDE的BD边上的高是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝60， ∴S△ABD=12S△ABC=12 ∵BE是△ABD的中线， ∴S△BDE=12S△ABD=12 设BD边上的高为h，BD＝5， ∴12?BD?h=12×5 ∴h＝6． 故选：D． 【巩固】如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　　． 三、三角形的角平分线 【典例】如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且∠DBC＝∠ECB＝31°．求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程） 【解答】解：相等， 由BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，可得 ∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACE＝∠ECB=1 由∠DBC＝∠ECB＝31°，可得∠ABC＝∠ACB＝62°， ∴∠ABC＝∠ACB． 【巩固】 如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB． （1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数． （2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由． 巩固练习 1．已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三角形共有（　　）个． A．21 B．28 C．49 D．14 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是　 　． 4．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=12（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是 　 5．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 　 　 6．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点D是AB的中点，点P从A点出发，沿线段AD以每秒2cm的速度运动到B．当点P的运动时间t＝　 　秒时，△PCD的面积为6cm2． 7．如图1，AD是△ABC的角平分线，E是AD延长线上一点，∠EBC＝90°-12∠ABC，∠ECB＝90°-1 （1）若∠BAC＝78°，求∠BEC的度数； （2）若∠ABC＝42°，则∠AEC＝　　度，若∠ACB＝64°，则∠AEB＝　　度； （3）如图2．若CF平分∠ACB交AD于点F，求证：CF⊥CE． 8．如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，E是AC延长线上的一点，连接DE交BC于点M，∠ADE的平分线与∠ABC的平分线交于点P，∠ACB的平分线与∠DEC的平分线交于点Q，求证：∠P＝∠Q． 9．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是 　 　； （2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示） （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，