2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题33 三角形的四心（学生版+解析版）.docx

专题33 三角形的四心 一、三角形的外心 【学霸笔记】 1.三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心。 如图，设O是ABC的外心，则： （1）OA=OB=OC. （2）∠BOC=2∠BAC；∠AOC=2∠ABC；∠AOB=2∠ACB. 【典例】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE． 求证： （1）AB＝AF； （2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）． 【解答】证明：（1）∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC ＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE， 而∠F＝60°﹣∠ACF， 因为∠ACF＝∠ADE， 所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF． （2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD， 又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB， 所以∠ABD＝∠AEB， 所以AB＝AE． ∵AB＝AF， ∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心． 【巩固】已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q，求证：点P是△ACQ的外心． 二、三角形的内心 【学霸笔记】 三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心， 如图，设I是ABC的内心，则： （1）I到三角形各边距离相等； （2） 【典例】已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）． 求证：F为△CDE的内心． 【解答】证明：如图，连DF，则由已知， ∵∠CDF＝∠CAB＝45°=12∠ ∴DF为∠CDE的平分线， 连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD﹣45°＝∠CDB﹣45°＝∠FDB， 得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上， 从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线． ∵F是△CDE上两条角平分线的交点， ∴就是△CDE的内心． 【巩固】已知M是△ABC内一点，且∠BMC＝90°+12∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ 三、三角形的垂心 【学霸笔记】 三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心， 如图，设H是△ABC的垂心，则： （）AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB. （2）A,F,H,E；B,D,H,F；C,E,H,D；B，C,E,F；C,A,F,D；A,B,D,E共六组四点共圆。 【典例】如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点． 【解答】证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q， 连接AH，BD，QB，QC，QH． 因为AB为⊙O1的直径， 所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分） 故BQ为⊙O2的直径． 于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分） 又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC． 所以AH∥CQ，AC∥HQ， 四边形ACQH为平行四边形．（15分） 所以点P为CH的中点．（20分） 【巩固】 如图，已知AB为⊙O的弦，点M为AB的中点，P为⊙O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆交⊙O于C，D两点，AC，BD交于点Q． （1）求证：点Q是△PAB的垂心； （2）判断点Q是否在⊙P上，并证明你的结论． 四、三角形的重心 【学霸笔记】 三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。 如图，设G是ABC的重心，则： （1）； （2）. 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm、BC＝8cm，点I为△ABC的重心，HI⊥BC于点H，求HI的长． 【解答】解：∵点I为△ABC的重心， ∴BI=23BD，CD=12AC ∵∠ACB＝90°，HI⊥BC， ∴AC⊥BC， ∴HI∥AC， ∴△BIH∽△BDC， ∴HICD HI3 ∴HI＝2cm． 【巩固】 证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍． 把条件改写一下：已知AD、BE为△ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O．须证：AH＝2OM，BH＝2ON． 巩固练习 1．如图，是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心？（　　） A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I切AC、BC于E、F，射线BI、AI交直线EF于点M、N，设S△AIB＝S1，S△MIN＝S2，则S1 A．32 B．2 C．52 D 3．如图，O是△ABC的外接圆的圆心，∠ABC＝60°，