2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题31 三角形全等模型（学生版+解析版）.docx

专题31 三角形全等模型 一、倍长中线 【典例】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC． 【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接CG． ∵AD是BC边的中线， ∴BD＝CD． 在△BDF和△CDG中 BD=CD∠BDF=∠CDG ∴△BDF≌△CDG（SAS）， ∴BF＝CG，∠BFD＝∠G． ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG， ∴AC＝CG， ∴BF＝AC． 【巩固】（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 　 　（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由． 二、一线三等角模型 【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； ②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标． 【解答】（1）解：∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D， 在△ABC和△DAE中， ∠1 ∴△ABC≌△DAE（SAS）， ∴AC＝DE，BC＝AE， 故答案为：DE，AE； （2）①证明：如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N， ∵BC⊥AF， ∴∠BFA＝∠AMD＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°， ∴∠B＝∠2， 在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD， ∠BFA= ∴△ABF≌△DAM（AAS）， ∴AF＝DM， 同理，AF＝EN， ∴EN＝DM， ∵DM⊥AF，EN⊥AF， ∴∠GMD＝∠GNE＝90°， 在△DMG与△ENG中， ∠DMG= ∴△DMG≌△ENG（AAS）， ∴DG＝EG，即点G是DE的中点； ②解：如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形， 过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D， 则四边形OCDE为矩形， ∴DE＝OC，OE＝CD， 由①可知，△ADB≌△BCO， ∴AD＝BC，BD＝OC， ∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2， ∴BC+BC+2＝6， 解得，BC＝2，OC＝4， ∴点B的坐标为（4，2）， 同理，点B′的坐标为（﹣2，4）， 综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4，2）或（﹣2，4）． 【巩固】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E． （1）△ABD与△CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由． （2）如图2，若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）． （3）如图3，若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）． 三、角含半角模型 【典例】正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG．求证：EF＝BE+DF． 【解答】证明：如图，由题意得：△ABE≌△ADG， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG； ∴FG＝BE+DF； ∴∠BAE+∠FAD＝∠FAD+∠DAG； ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠FAD＝90°﹣45°＝45