2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题32 三角形相似（学生版+解析版）.docx

专题32 三角形相似 一、平行相似 【学霸笔记】 在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。 【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　） A．1：6 B．1：8 C．1：9 D．1：10 【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G， ∵AD是BC边上中线， ∴BGGE=BDDC=1 又∵GD∥EC， ∴AEEG ∴AE=EG ∴AE：EB=EG5：2EG＝1： 故选：D． 【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（　　） A．PEAB=PFCD C．PFCD=AEAD 二、相似的判定与应用 【典例】如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为 　 　． 【解答】解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点， ∴点A1B1是△ABC的中位线， ∴A1B1=12AB= 同理可得：A2B2=12A1B1= …… 则A2022B2022=12 ∴S△A2022B2022C2022=34 故答案为：324046a 【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM．有如下结论：①AE＝BF；②AN=24AD；③∠ADF＝∠GMF；④ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 三、动态几何中的相似问题 【典例】如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q． （1）求证：△APQ∽△CDQ； （2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒． ①当t为何值时，DP⊥AC？ ②设S△APQ+S△DCQ＝y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠QPA＝∠QDC，∠QAP＝∠QCD， ∴△APQ∽△CDQ． （2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC＝90°， ∵∠ADQ+∠QDC＝90°， ∴∠DCA＝∠ADP， ∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴△ADC∽△PAD， ∴ADPA ∴10PA 解得 PA＝5， ∴t＝5． ②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10﹣h）． ∵△APQ∽△CDQ， ∴h10 解得 h=10 ∴10﹣h=200 ∴S△APQ=1 S△DCQ=1 ∴y＝S△APQ+S△DCQ=5t220+t+2000 探究： t＝0，y＝100； t＝1，y≈95.48； t＝2，y≈91.82； t＝3，y≈88.91； t＝4，y≈86.67； t＝5，y＝85； t＝6，y≈83.85； t＝7，y≈83.15； t＝8，y≈82.86； t＝9，y≈82.93； t＝10，y≈83.33； t＝11，y≈84.03； t＝12，y＝85； t＝13，y≈86.21； t＝14，y≈87.65； t＝15，y≈89.29； t＝16，y≈91.11； t＝17，y≈93.11； t＝18，y≈95.26； t＝19，y≈97.56； t＝20，y＝100； 观察数据知： 当0≤t≤8时，y随t的增大而减小； 当9≤t≤20时，y随t的增大而增大； 故y在第8秒到第9秒之间取得最小值． 【巩固】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题： （1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？ （2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）； （3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五