微分几何梅向明黄敬之编第三章课后题答案.docx

微分几何主要习题解答 微分几何主要习题解答 PAGE PAGE 24 1. 证明曲面 §4.直纹面和可展曲面 r? 1 2={u 2 ? v,2u 3 ? uv, u 4 ? u 2 v} r? 1 2 3 3 证法一： 已知曲 面方程可改 写为 1 2 r?= {u 2 ,2u 3 , u 4 } +v { , u, u 2 } ， 令 r? 3 3 r a(u) = {u 2 ,2u 3 , u 4 } ， r 1 2 r? r r r ? b (u) ={ , u, u 2 }，则 3 3 = a(u) + v b (u) ，且b (u) 0，这是直纹面的方程 ，它满足 2u 6u2 4u3 r r r 1 (a ,b, b ) = 3 u 2 u2 3  =0 ,所以所给曲面为可展曲面。 0 1 4 u 3 证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略） 2。证明曲面r?={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。 r? r r r 证法一： 曲面的方程可改写为 r b (v) ={-sinv, cosv,1} ， 易 见 = a(v) + u b (v) ，其中 a(v) ={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v} ， br (v) ? 0 ， 所 以 曲 面 为 直 纹 面 ， 又 因 为 b r r r ?2sin v ? v cos v 2cos v ? v sin v 2 (a ,b, b ) = ?sin v ?cos v cos v ?sin v 1 =0，所以所给曲面为可展曲面。 0 证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略） 3．证明正螺面r?={vcosu,vsinu,au+b}(a ? 0)不是可展曲面。 证法一：原曲面的方程可改写为 r?= r (u) + v r (u) ，其中 r (u) ={0,0,au+b}, r (u) ={cosu,sinu,0}.易见 a r ? r r r b a b 0 0 a ? b (u) 0, 所以曲面为直纹面, 又因为(a ,b,b ) = cos u sin u 0 =a ?sin u cos u 0 证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略） 0.故正螺面不是可展曲面。 4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。 r r r r r 证 挠曲线（C）: a ? a(s) 的主法线曲面为 (s 1 ) : r ? a(s) ? v?(s) ,因为 r r r r r r r r r r (a, ?, ?) = (?, ?, ??? ? ?? ) ? ? ? 0 ，故(s 1 ) : r ? a(s) ? v?(s) 不是可展曲面。 r r r r r rr r r r r 挠曲线（ C）: a ? a(s) 的副法线曲面为 (S ) : r ? a(s) ? v? (s) ，因为 (a,? ,? ) ? (?,? , ???) ? ? ? 0 ，故 r r r 2 (S ) : r ? a (s)? v? (s)不是可展曲面。 2 5。求平面族{? } ：xcos? +ysin? -zsin? -1=0 的包络。 ? ? F ? x cos? ? y sin? ? z cos? ? 0 解 ?F ? ?x sin? ? y cos? ? z cos? ? 0 ? x c o s? ? (y? z ) s ?i n? ， 即 ??x s i n? ? (y? z ) c o?s? 1 ， 将此两式平方后相加得 ? ? ? 0 x2 ? ( y ? z)2 ? 1 。这就是所求的包络面。 求平面族a2 x ? 2ay2z ? 2a 的包络。 ?F ? a2 x ? 2ay ? 2z ? 2a ? 0 解 从? 中消去参数 a，则得所求的包络面为 ?F ? 2ax ? 2 y ? 2 ? 0 ? a ( y ? 1)2 ? 2axz ? 0 。 证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。 证 柱面(S ) 的方程可写为 r?= r (u) r r ? 0 为常向量）因为 r r r = r r ( , , ) ( , , ) ( ,  ,0) ? 0 。故(S ) 是 1 可展曲面。 a + v b 0 ，（ b 0 a b b a b 0 1 锥面(S ) 的方程可写为 r?= r + v r (u)（ r r r r r r 为常向量），因为( , , ) = (0, , ) =0，故(S ) 是可展曲面。 a b a 2 0 0 a b b b b 2 r r r r r r r r r r r