微分中值定理的证明题.docx

微分中值定理的证明题 1. 若 f (x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 上可导， f (a) ? f (b) ? 0 ，证明： ?? ? R ， ?? ?(a, b) 使得： f ?(?) ? ? f (?) ? 0 。 证：构造函数 F (x) ? f (x)e?x ，则 F (x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内可导， 且 F (a) ? F (b) ? 0 ，由罗尔中值定理知： ?? ?（a, b) ，使 F ?(? ) ? 0 即：[ f ?(? ) ? ? f (?)]e?? ? 0 ，而e?? ? 0 ，故 f ?(?) ? ? f (?) ? 0 。2. 设a, b ? 0 ，证明： ?? ?(a, b) ，使得aeb ? bea ? (1?? )e?(a ? b) 。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 证：将上等式变形得： eb e a ? (1?? )e? ( ? ) b a b a 1 1 1 1 1 作辅助函数 f (x) ? xex ，则 f (x) 在[ , ] 上连续，在( , ) 内可导， b a b a 由拉格朗日定理得： ?1 1 ? f ( ) f ( ) b a  ? 1 1 1 1 1 ? 1 b a 1 1 ? f ( ) ? 1 ? ?(b , a ) ， eb ? ea 即 b a 1 1 ? (1? 1 ? 1 )e? 1 ?(1 , ? 1 ) ， b a b a 即： aeb ? bea ? (1 ? ? )e?(a ? b) ? ?(a, b) 。 3. 设 f (x) 在(0,1) 内有二阶导数，且 f (1)? 0 ，有F (x) ? x2 f (x) 证明：在(0,1) 内至少存在一点? ，使得： F ?(? ) ? 0 。 证：显然F (x) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，又F (0) ? F (1)? 0 ，故由罗尔定理知： ?x0 ? (0,1) ，使得 F ?(x0 ) ? 0 又 F ?(x) ? 2xf (x) ? x2 f ?(x) ，故 F ?(0) ? 0 ， 于是 F ?(x) 在[0，x0 ] 上满足罗尔定理条件，故存在? ? (0, x0 ) ， 使得： F ?(? ) ? 0 ，而? ? (0, x0 ) ? (0,1) ，即证 4. 设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (0) ? 0 ， f (1) ? 1 .证明： (1)在(0,1)内存在? ，使得 f (?) ? 1 ? ? ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点? ，?使得f / (? ) f / (?) ? 1 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【证明】 （I） 令 F (x) ? f (x) ? 1 ? x ，则F(x)在[0，1]上连续，且 F(0)=-10, F(1)=10,于是由介值定理知，存在? ? (0,1), 使得 F (?) ? 0 ，即 f (?) ? 1 ? ? . （II）在[0,? ] 和[? ,1] 上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同 的点? ? (0,?),? ? (?,1) ，使得 f ?(?) ? f (?) ? f (0) ， f ?(? ) ? f (1) ? f (?) ? ? 0 1 ? ? 于是，由问题（1）的结论有 f ?(?) f ?(? ) ? f (?) ? 1 ? f (?)  ? 1 ? ? ? ?  ? 1. ? 1 ? ? ? 1 ? ? 5. 设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) ? f (2a) ，证明在[0,a]上存在? 使得f (a ? ?) ? f (?) . 【分析】 f (x) 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到 f (a ? ?) ? f (?) ? f (a ? ?) ? f (?) ? 0 ? f (a ? x) ? f (x) ? 0 【证明】令G(x) ? f (a ? x) ? f (x) ， x ?[0, a] ． G(x) 在[0,a]上连续，且 G(a) ? f (2a) ? f (a) ? f (0) ? f (a) G(0) ? f (a) ? f (0) 当 f (a) ? f (0) 时，取? ? 0 ，即有 f (a ? ?) ? f (?) ； 当 f (a) ? f (0) 时， G(0)G(a) ? 0 ，由根的存在性定理知存在 ? ? (0, a) 使得， G(? ) ? 0