无穷级数知识点介绍 人王浩.docx

专转本专题知识点 无穷级数 数项级数 定义 1 设给定一个数列u , u 1 2 , u ,..., u 3 n ,..., 则和式 u ? u 1 2 ? u ? ... ? u 3 n ? ... （11.1） ?? ? n称为数项级数，简称为级数，简记为 n n?1 u ,即 =?? u u ? u = n 1 2 n?1 u ? 3 ... ? u n ? ... 其中，第n 项u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和 n S ? u ? u n 1 2 ? u ? ... ? u 3 n ? ?n u k k ?1 称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取 1，2，3，...时，部分和 S , S , S ,.., S ... 1 2 3 n 构成一个新的数列?S ?，数列?S ?也称为部分和数列 n n 定义 2 若级数 ?? n?1  u ?Sn 的部分和数列 ?S ?有极限 S lim S n?? n ? S ， ?? ? 则称级数 n?1 u ?? nn 收敛，称S 是级数 n n?1 u 的和，即 S ? ?? u n n?1 ? u ? u 1 2 ? u ? ... ? u 3 n ? ... 如果部分和数列?S n 数项级数的性质 ?没有极限，则称为级数 ?? n?1  u n 发散 ?? ? 若级数 n?1 ?? n 和级数 n?1 ?? n 都收敛，它们的和分别为S 和? ，则级数 n?1 (u ? v ) 也n n 也 收敛，且其和为S ? ? 若级数 ?? n?1 un 收敛，且其和为 S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的 ku?? ku 级数 n?1  n 也收敛，且其和为kS 在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 若 级 数 ?? n?1 un 收 敛 ， 则 将 这 个 级 数 的 项 任 意 加 括 号 后 ， 所 成 的 级 数 (u ? u 1 2 ?...? u n 1 ) ?(u n ?1 1 ?...? u n 2 ) ?...?(u nk?1 n ?...? u n k ) ?...也收敛，且与原级数有相同的和 （5）（级数收敛的必要条件）若级数 ?? n?1 un 收敛，则  lim u ? 0 n?? n 综上所述，几何级数 综上所述，几何级数?? n?1 ? aq n?1 的敛散性 ? ? q ?? q ? 1，发散。。。。。。 1,收敛，其和为 - q a 1 调和级数?? 1 的敛散性 发散 n?1 n 数项级数的敛散性 研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数 正项级数：若级数级数为正项级数  ?? u n n?1  = u ? u 1 2  ? u ? ... ? u 3 n  ... 满足条件u n  ? 0(n ? 1,2,3,...) ，则称此 定理 1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列?S ?有界 n 定理 2（比较判别法）若级数那么： ?? u n n?1  和级数 ?? v n n?1  为两个正项级数，且u n  ? v (n ? 1,2,3,...) ， n 若级数 ?? n?1 vn 收敛时，级数 ?? n?1 un 也收敛 若级数 ?? n?1 un 发散时，级数 ?? n?1 vn 也发散 那么 那么 p ? 级数?? n?1 1 np 的敛散性是 ? ? p ? 1,发散 ? p ? 1，收敛 定理 3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数 u ?? un（ u u n n n?1 ? 0, n ? 1,2,3,... ）满足条件 lim n?1 ? l n?? u n 则 当l ? 1时，级数收敛 当l ? 1时，级数发撒 当l ? 1时，无法判断此级数的敛散性 二．交错级数 ?? ? 级数 n?1 (?1)n u n  （ u ? 0, n ? 1,2,3,... ）称为交错级数 n 定理 4（莱布尼兹判别法）若交错级数 u ? u n n?1 ?? n?1 (?1)n u n  （ u ? 0, n ? 1,2,3,... ）满足下列条件 n lim u ? 0 n?? n ?? ? 则交错级数 (?1)n u 收敛，其和S ? u , 其余项的绝对值 r ? u n n?1 1 n n?1 三．绝对收敛和条件收敛 若级数 ?? n?1 (?1)n u  n 的各项为任意实数，则称级数  ?? n?1  u 为任意项级数 n 定义 如果任意项级数 ?? u n n?1 的各项绝