微分几何答案.docx

第二章 曲面论 §1 曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv } 为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2} 为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2} 为方向向量的直线。 求球面=上任意点的切平面和法线方程。解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为 。 求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平 面 。 解 椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 ，。切平面方程为： 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２ 曲面的第一基本形式 求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解 ，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。 解 由条件,沿曲线u = v有 du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上， 从到的弧长为。 设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0 的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知 道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。 解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线 u + v = 0 与 u – v = 0 的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。曲线 u + v = 0的方向为 du = -dv , u – v = 0 的方向为δ u=δ v , 设两曲线的夹角为，则有 cos= 。 求曲面z = axy 上坐标曲线x = x ,y =的交角. 解 曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 的向量表示为={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线x = x 与 y =的夹角为，则有cos = 求 u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程. 解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δ u:δ v ,则有 Eduδ u + F(duδ v + dvδ u)+ G d vδ v = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδ u + Fδ v = 0 . 同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδ u + Gδ v = 0 . 在曲面上一点,含 du ,dv 的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确定两个切方向（du ： dv）和（δ u ：δ v），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0. 证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E + F(+)+ G = 0 ……② 将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 . 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G. 证 用分别用δ 、 d 表示沿 u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－ 曲线δ u０，δ v＝０，沿 v－曲线 u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得 ，即。 展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG-0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G. 9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形 的面积。 解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围