平面向量与三角形的四心归纳总结.doc

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三角形的四心与向量 四心的概念介绍: (1) 重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1; (2) 垂心:高线的交点,高线与对应边垂直; (3) 内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4) 外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等。 (一)三角形的内心 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足: ,则的轨迹一定通过的(   ) A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心 【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量 的方向与的角平分线一致,又, ,向量的方向与的角平分线一致 一定通过的内心,选. 练习1. 已知满足,,则为( ) A.顶角为的等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个内角为的直角三角形 D.等边三角形 【解析】设,则,而,所以是的角平分线,又,所以为等腰三角形, ,所以是等边三角形. 练习2.O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个点,动点P满足 则P点的轨迹一定通过三角形ABC的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量 ∴的方向与∠BAC的角平分线重合, 又∵可得到 λ() ∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合,∴一定通过△ABC的内心,选A (二)三角形的重心 已知中,向量,则点的轨迹通过的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 【解析】设为中点,则,,即点在中线上 可知点轨迹必过的重心,选 练习1.过的重心作直线,已知与、的交点分别为、,,若,则实数的值为( ) A.或 B. 或 C.或 D.或 【解析】设,因为G为的重心,所以,即 由于三点共线,所以,即 因为,,所以 即有,解之得或,选B 练习2.已知O是△ABC所在平面上的一点,若= , 则O点是△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】作BD∥OC,CD∥OB,连OD,OD与BC相交于G,则BG=CG,(平行四边形对角线互相平分), ∴,又∵,可得:,∴, ∴A,O,G在一条直线上,可得AG是BC边上的中线, 同理:BO,CO的延长线也为△ABC的中线.∴O为三角形ABC的重心.选C. 练习3.已知是所在平面上的一定点,若动点满足,,则点的轨迹一定通过的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】∵=设它们等于t,∴ 而 表示与共线的向量,而点D是BC的中点,所以即P的轨迹一定通过三角形的重心,选C 练习4.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足,,则点P的轨迹一定通过的__________心. 【解析】设D为BC的中点,则,于是有, ,P,D三点共线,又D是BC的中点,所以AD是边BC的中线, 于是点P的轨迹一定通过的重心 是平面上不共线的三点,为所在平面内一点,是的中点,动点满足,则点的轨迹一定过____心(内心、外心、垂心或重心). 【解析】∵动点P满足[(2﹣2λ)(1+2λ)](λ∈R), 且,∴P、C、D三点共线,又D是AB的中点, ∴CD为中线,∴点P的轨迹一定过△ABC的重心.故答案为重心. (三)三角形的外心 已知点为外接圆的圆心,且,则的内角等于( ) A. B. C. D. 【解析】 因为,所以点为的重心, 延长交于,则为的中点,又为外接圆的圆心, 所以,则,同理可得,为等边三角形,,故选B. 练习1.已知,点,为所在平面内的点,且,,, 则点为的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】因为,所以,即 又因为 ,所以,即 所以,即 所以 ,所以,同理 ,所以为的外心,选B 练习2.在中,设,则动点M的轨迹必通过的( ) A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 【解析】 设为中点,则 为的垂直平分线 轨迹必过的外心,选 练习3.是锐角的外接圆圆心,是最大角,若,则的取值范围为_______ 【解析】设是中点,根据垂径定理可知,依题意,即,利用正弦定理化简得.由于,所以, 即.由于是锐角三角形的最大角,故,故. 练习4.已知O是△ABC外接圆的圆心,AB=6,AC=15,=+,2+3=1,则cos∠BAC=______. 【解析】如图所示, 过O点分别作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.则AD=DB,AE=EC. 则, 则 因为=+, 所以, 即18=36x+90ycosA,=90xcosA+225y,又2x+3y=1,联立解得cosA= (四)三角形的垂心 点P为所在平面内的动点,满足,,则点P的轨迹通 过的  

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