第三章幂级数展开.ppt

二、多值函数的 Taylor 展开 多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开。 例5、在 展开 第二十九页，共八十页，2022年，8月28日 收敛半径 R=1。 n=0的那一支为 主值分支。 ? 1 o y x 第三十页，共八十页，2022年，8月28日 例6、求 在 邻域的 Taylor 展开（m不是整数）。 解： 第三十一页，共八十页，2022年，8月28日 从而 m 不是整数!此为非整数二项式定理 第三十二页，共八十页，2022年，8月28日 收敛半径 R=1。式中 n=0为主值分支。 三、无穷远点邻域内的泰勒展开 若存在R, 使 f (z) 在以 z=0 为圆心，R为半径的圆外（包括 ）解析， 作变换 有 第三十三页，共八十页，2022年，8月28日 §3.4 解析延拓 解析延拓是解析函数理论中的一个重要概念 第三十四页，共八十页，2022年，8月28日 一、解析延拓的定义： 设已知一个函数 f1(z) 在区域 B1 中解析。如果在与 B1 有重叠部分b(可以是一条线)的另一区域 B2 内存在一个解析函数 f2(z), 在 b 中 称 f2(z) 为 f1(z) 在 B2中的解析延拓；反过来， f1(z) 也是 f2(z) 在 B1 中的解析延拓。 B2 B1 b f1(z) f2(z) 第三十五页，共八十页，2022年，8月28日 通常在两类问题中用到解析延拓: (1)已知在某区域中有定义的解析函数，例如用级数、积分或者其他表达式来表达的函数，用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围。 ex, sin x, cos x ? ez, sin z, cos z (2)已知数学问题的解是某区域 B 内(除了个别奇点外)的解析函数。但求解的方法只能给出在B的某一子区域 B’ 内才有效的函数表达式，利用解析延拓的方法，可以从这个表达式推算出解在 B 的其他子区域中的表达式。 第三十六页，共八十页，2022年，8月28日 二、延拓方法：原则上讲，可通过泰勒展开进行。例： x y ?i/2 C1 C2 第三十七页，共八十页，2022年，8月28日 在上面的例子中，我们用函数的幂级数表达式作解析延拓．照那样做下去，将得到有不同收敛圆的许多幂级数，这些幂级数的全体代表一个解析函数F(z)．每一个幂级数 — 常称为 F(z) 的一个元素，在它自己的收敛圆内代表 F(z) 的泰勒展开。 解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的证明（略） 第三十八页，共八十页，2022年，8月28日 §3.5 解析函数的洛朗（Laurent）展开 一、双边幂级数 正幂部分有收敛半径 引入新变量 负幂部分成为 有收敛半径， 其在 内部收敛， 即在 的外部收敛。若 级数 第三十九页，共八十页，2022年，8月28日 正幂部分 收敛域 负幂部分收敛域(白色) 收敛环 R2 R1 第四十页，共八十页，2022年，8月28日 在 内绝对且一致收敛。 称为级数的收敛环。若 级数发散。 二、洛朗展开定理 设 f (z) 在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点 z, f (z)可展为幂级数 其中 路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。 第四十一页，共八十页，2022年，8月28日 证：作 z0 R2 R1 CR1 C’R1 CR2 C’R2 z C 证明请见本章ppt21页 4线构成复联通区域 第四十二页，共八十页，2022年，8月28日 z0 R2 R1 CR1 C’R1 CR2 C’R2 z C 第四十三页，共八十页，2022年，8月28日 代入积分 第二和式换求 和指标后成为 换向改号 第四十四页，共八十页，2022年，8月28日 从而 其中 C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。 函数在R1、R2围成的闭