矩阵变换的特征值与特征向量.ppt

第一页，共二十九页，2022年，8月28日 矩阵变换的特征值与特征向量 第二页，共二十九页，2022年，8月28日 复习 若向量?= ??, 利用逆矩阵解二元一次方程组 则?与?共线,即?与?平行,即?∥?. 第三页，共二十九页，2022年，8月28日 表示一个压缩变换 B C A x y O 1 1 M B’ C’ A x y O 1 1 2 1 第四页，共二十九页，2022年，8月28日 A B C x y 1 1 -1 O A B C B’ A’ x y 1 1 -1 O N 关于y轴的反射变换 第五页，共二十九页，2022年，8月28日 一般地,给定矩阵M,若存在一个非零向量?和实数?,满足 M? = ?? 则称?为矩阵M的特征值, ?为矩阵M的属于特征值?的特征向量. 特征向量变换后的像与原向量是共线的 特征向量的不变换性 第六页，共二十九页，2022年，8月28日 还有没有其他的特征值和特征向量? 如何确定矩阵的特征值和特征向量呢? 第七页，共二十九页，2022年，8月28日 实例分析 由定义知 第八页，共二十九页，2022年，8月28日 特征向量是非零向量,将问题转化为:二元一次方程组何时有非零解. 存在逆矩阵N-1 M 无特征向量 第九页，共二十九页，2022年，8月28日 当 ?2-5-24 = 0 时, ?才可能是M的特征值 解方程得 ?1 =8 ?2 =-3 第十页，共二十九页，2022年，8月28日 将 ?1 =8 代入 (5.2) ?1 =8 是M的特征值 都是属于特征值?1 =8 的特征向量. 第十一页，共二十九页，2022年，8月28日 将 ?2 =-3 代入(5.2) x+y=0 对每一个x≠0的值,都是属于?2 =-3的特征向量 ?2 =-3 是 M 的特征值 第十二页，共二十九页，2022年，8月28日 对于矩阵M,若有特征值?及相应的特征向量?, 即M?=??,则对任意实数t(t≠0),t?也必是矩阵 M 对应于特征值?的特征向量. 由于它们是共线的 第十三页，共二十九页，2022年，8月28日 堂上练习 1.求下列矩阵的特征值和特征向量 第十四页，共二十九页，2022年，8月28日 堂上练习 2.利用特征向量的定义证明,若 ? 是矩阵M对应于特征值 ? 的特征向量,则 t?(实数t≠0)也必是矩阵 M 对应于特征值 ? 的特征向量. 第十五页，共二十九页，2022年，8月28日 抽象概括 若矩阵 M 存在特征值?,及其对应的特征向量 第十六页，共二十九页，2022年，8月28日 因此,矩阵M的特征值?必须满足方程 方程的根即为矩阵 M 的特征值 一个二阶方阵最多可以有两个特征值 方程最多有两根 解得特征值?代入 第十七页，共二十九页，2022年，8月28日 第十八页，共二十九页，2022年，8月28日 当 b≠0 时,由( ?- a ) x – by = 0 当x≠0时 第十九页，共二十九页，2022年，8月28日 例1 解 矩阵M的特征值 ? 满足方程 解得 M 的两个特征值 ?1=2, ?2=3 设属于特征值 ?1=2 的特征向量为 满足方程组 第二十页，共二十九页，2022年，8月28日 这样的向量有无穷多个,可表示为 为属于特征值?1=2的一个特征向量 设属于特征值 ?2=3 的特征向量为 满足方程组 这样的向量有无穷多个,可表示为 为属于特征值?2=3的一个特征向量 第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日