数学分析讲义.doc

PAGE PAGE 27 在职人员考研辅导材料《数学分析》讲义 第一讲 极限 定义：数列收敛于，当时，当时，有。即: . 例1设，（这里或），试证： 。（注：，本命题不成立，如：{0,1,-1,2,-2,3,-3…}）。 只证：当， ， 故，当时，当时，有. 从而当时， 上式 ，当时，有 但是 取，当时，有。 练习1.2 若，，则。 求极限的方法 要点： 一 重要极限 二 单调有界数列必收敛 三 夹逼定理 且，则 四 海因定理 ，有 五 变量代换 六 罗必达定理 例1 例2 例3 又解： 原式 例4 设，，。求 解： 例5 设，，。求 解：显然. . 下证: .用数学归纳法. 是条件. 设 则 , 有. 从而. 递减, 有下界. 因此 (存在). . 即 例6 设. 求 解: 原式 由, 原式=0. 例7 求 解: , 若, 则. 从而. 若, 则 有. 例8 求 例9 求 解: , 原式=1. 例10 设数列{}, 单增且, 则. 证：， . 从而, 原式=1. 例11 求在指定点处的左、右极限. ⑴ ⑵ 解： ⑴， ⑵， 例12 设f（x）是定义在（a，b）上的单调函数. ， 则与都存在。 证：只证存在。 设严格单调增数列，且。 则为单调数列，且是有界的。（例如 f（x）单增，则单增，且）从而存在。 下证。 事实上，，当时，有， 取， 则当时， 必有而。从而，使， 例13 求证 证明： 只要证. 事实上 则, 从而 ，显然， 例14 设，求证 证： 当时， 其中， 显然， , ，。 例 15 已知，求证 证： ， 显然 。 第二讲 连续性 要点: 一 定义 二 初等函数的连续性 三 闭区间上连续函数的性质 四 一致连续性。 例1 设 试确定的值，使得： （1）存在; （2）f（x）在x＝0连续; （3）f（x）在x＝0可导。 解： （1） 当时，上述极限存在，时，上述极限不存在，特别地，时， 时， （2）由（1）知时，f（x）在x＝0连续。 （3） 当时， 即：当时，在点. 例2求证在不一致连续。 证： 若取，则： 当n无限增大时，。 但是 ，。 例3 若在[a, b]连续，且。则 使得 . 证：设 ，. 则有： 由介值定理， ，使得. 例4 设在连续，且, . 则，使得. 证：令，则，. 若，则； 若，则； 若，，则可由介值定理知，存在，使得，即：。 例5 证明：单调有界函数可取到之间的任何值，则在连续。 证明：，只要证明. 先设，则（设单增） 若，则. 从而 下设。取充分小，使得 因此 ，使 ，使 取，则当时，必有。 即： （若或，只要考虑单边极限） 另证：由前面已经证过的一个命题。 与存在，且. 下证. 不然，若，由于为增函数，从而，有： . 这样区间内的点，就无法取到。这与条件矛盾。 同理，也与条件矛盾。 例6若和都在连续，试证：以及都在连续。 证： 是连续函数的复合函数。从而为上的连续函数。由此知为上的连续函数。 另证： ，分三种情况： eq \o\ac(○,1) 从而使得时，有。因此 在处连续。 eq \o\ac(○,2)同理可证在处连续。 eq \o\ac(○,3) 这时 ，当时，有 例7证明：在连续，并且存在，则可取到之间的一切值。（a, b可以为） 证明： eq \o\ac(○,1)若是有限数，由存在( 补充定义: , ), 则在连续。由介值定理在可取到之间的一切值。 eq \o\ac(○,2)若，为有限数. 由存在，对，（其绝对值充分大）使得 则由 eq \o\ac(○,1)，，s.t. eq \o\ac(○,3)若为有限，. 同理可证。 eq \o\ac(○,4)若，. 则用 eq \o\ac(○,2)与 eq \o\ac(○,3)的方法也可证。 例8 设为有限数，证明上的连续函数为一致连续的充分必要条件为与存在。 注：这里不能为，例如在任何区间上一致收敛。但不存在。 当或时充分性似成立，必要性不成立。（见例9） 证：充分性：若，存在，则由上例中的证明第 eq \o\ac(○,1)步知在补充定义后是上的连续函数，从而在上一致连续，因此也在内一致连续。 必要性：若在内一致连续，则, , 当且时，有. 特别地，当，时，