高中数学数列求和-错位相减法.docx

错位相减法是一种常用的数列求和方法 ,应用于等比数列与等差数列相乘的形式 .形如An=BnCn,其中 Bn 为等差数列,Cn 为等比数列；分别列出 Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即 kSn；然后错一位,两式相减即可. 目录简介举例 错位相减法解题编辑本段简介 错位相 减较常用 在数列的通项 表现为一 个等差数列与 一个等比 数列的乘积 , 如an=(2n-1)*2^(n-1),其中 2n-1 部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列. 编辑本段举例 例 如 ： 求 和 Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1) （ x≠0 ） 当 x=1 时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2； 当x 不等于 1 时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； ∴ xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n ； 两 式 相 减 得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n ； 化 简 得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 编辑本段错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是 a 前面的系数和 a 的指数是相等的情况下才可以用. 这是例子（格式问题,在 a 后面的数字和 n 都是指数形式）： S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下： aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2） 用（1）— （2）,得到等式（3）如下： （1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） （1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an 用这个的求和公式. （1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到 S 的通用公式了. 例子:求和 Sn=3x+5x^2+7x^3+… +(2n-1)·x 的 n-1 次方（x 不等于 0）当x=1 时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1 时,Sn=3x+5x^2+7x^3+… +(2n-1)·x 的 n-1 次方 所以 xSn=x+3x^2+5x^3+7x 四次方……..+(2n-1)·x 的 n 次方 所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x 的 n-2 次方)－(2n-1)·x 的 n 次方. 化简得： Sn=(2n-1)·x 地 n+1 次 方 － (2n+1)·x 的 n 次 方 +(1+x)/(1-x) 平 方 Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+. +(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两 式 相 减 得 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+. +2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和 ) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以 Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法 这个在求等比数列求和公式时就用了 Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以 1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些） 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n