高中数学 计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版.docx

PAGE PAGE 10 专题课件 专题课件 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2. 理解二项式系数的性质并灵活运用． 知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (a＋b)n 的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式： 思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中， 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为 2n. 思考 3 二项式系数的最大值有何规律？ 答案 当 n＝2,4,6 时，中间一项最大，当n＝3,5 时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点 ①在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等． ②在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Ck ＝Ck－1＋Ck. (2)二项式系数的性质 n＋1 n n 性质 性质 内容 Cm＝Cn－m，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二 对称性 n n 项式系数相等 如果二项式的幂指数n 是偶数，那么展开式中间一项T n 的 2 ?1 二项式系数最大 增减性与最大值 如果 n 为奇数，那么其展开式中间两项T n?1 2 与T n?1?1 的二项 2 式系数相等且同时取得最大值 二项展开式中各二项式系数的和等于2 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C0＋C1＋C2＋… n n n 各二项式 ＋Cn＝2n n 系数的和 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都 等于 2n－1，即C1＋C3＋C5＋…＝C2＋C4＋C6＋…＝2n－1 n n n n n n 杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( × ) 二项式展开式的二项式系数和为C1＋C2＋…＋Cn.( × ) n n n 二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × ) 类型一 与杨辉三角有关的问题 例 1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5 行除去两端数字 1 以外，均能被5 整除，则具有类似性质的行是( ) A．第 6 行 B．第 7 行 C．第 8 行 D．第 9 行 (2) 如图， 在杨辉三角中， 斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列： 1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S(n)，则S(16)等于( ) A．144 B．146 C．164 D．461 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题答案 (1)B (2)C 解析 (1)由题意，第 6 行为 1,6,15,20,15,6,1，第 7 行为 1,7,21,35,35,21,7,1，故第 7 行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除． 由题干图知，数列中的首项是C2，第 2 项是 C1，第 3 项是C2，第 4 项是C1，…，第 15 项 2 2 3 3 是C2，第 16 项是C1，所以 S(16)＝C1＋C2＋C1＋C2＋…＋C1＋C2＝(C1＋C1＋…＋C1)＋(C2＋C2＋… 9 9 2 2 3 3 9 9 2 3 9 2 3 ＋C2) 9 ＝(C2＋C1＋C1＋…＋C1－C2)＋(C3＋C2＋…＋C2) 2 2 3 9 2 3 3 9 ＝C2 ＋C3 －1＝164. 10 10 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练 1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3. 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题答案 34 解析 由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3，它等于二项展开式的第 14 项 14 2 和第 15 项的二项式系数的比，所以C13∶C14＝2∶3，即n ＝ ，解得 n＝34，所以在第 34 n n －13 3 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比是 2∶3. 类型二 二项式系数和问题 例 2 已知(2x－1)5＝a x5＋a x4＋a x3＋a x2＋a x＋a . 0 求下列各式的值： 1 2 3 4 5 (1)a ＋a ＋a ＋…＋a ； 0 1 2 5 (2)|a |＋|a |＋|a |＋…＋|a |； 0 1 2 5 a ＋a ＋a . 1 3 5 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x＝1，得a ＋a ＋a ＋…＋a ＝1. 0 1 2 5 (2)令x＝－1，得－35＝－a ＋a －a ＋a －a