高中数学_圆锥曲线知识点总结.docx

PAGE PAGE 1 圆锥曲线知识点 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F , F 的距离的和等于常数（大 1 2 于| F F |）的点的轨迹。 1 2 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： 2a ?| F F | 表示椭圆； 2a ?| F F | 表示线段 F F ； 2a ?| F F | 没有轨迹； 1 2 1 2 1 2 1 2 （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 中心在原点，焦点在 x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方 程 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1(a ? b ? 0) y 2 ? x 2 a 2 b 2 ? 1(a ? b ? 0) y P y B 2 B 图 形 2 x P A 1 F 2 A 1 F 1 O F A 2 O A x 2 2 B 1 F 1 B 1 顶 点 A (?a,0), A (a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b) 1 2 A (?b,0), A (b,0) B1 (0,?a), B2 (0, a) 1 2 对称轴 x 轴， y 轴；短轴为2b ，长轴为2a 焦 点 F (?c,0), F (c,0) 1 2 F (0,?c), F (0, c) 1 2 焦 距 | F F |? 2c(c ? 0) 1 2 c 2 ? a 2 ? b 2 离心率 e ? c (0 ? e ? 1) （离心率越大，椭圆越扁） a 通 径 2b2 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） a 3．常用结论：（ 1）椭圆 x 2 y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F , F ，过 F 的直线 a 2 b 2 1 2 1 交椭圆于 A, B 两点，则?ABF 2 的周长= （2）设椭圆 x 2 y 2 ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为F , F ，过F 且垂直于 a 2 b 2 1 2 1 对 称 轴 的 直 线 交 椭 圆 于 P, Q 两 点 ， 则 P, Q 的 坐 标 分 别 是 | PQ |? 二、双曲线： 双曲线的定义：平面内与两个定点 F , F  的距离的差的绝对值等于常数（小 1 2 于| F F |）的点的轨迹。 1 2 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： | PF | ? | PF |? 2a 与| PF | ? | PF |? 2a （ 2a ?| F F | ）表示双曲线的一 1 2 2 1 1 2 支。 2a ?| F F | 表示两条射线； 2a ?| F F | 没有轨迹； 1 2 1 2 双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 x 轴上  中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 x 2 ? y 2 a 2 b 2  ? 1(a ? 0, b ? 0) y 2 ? x 2 a 2 b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) Py F P y F 2 B 2 O x B 1 F 1 P y x F 1 A 1 O A 2 F 2 顶 点 A (?a,0), A (a,0) B (0,?a), B (0, a) 1 2 1 2 对称轴 x 轴， y 轴；虚轴为2b ，实轴为2a 焦 点 F (?c,0), F (c,0) F (0,?c), F (0, c) 1 2 焦 距 | F F |? 2c(c ? 0) c 2 1 2 ? a 2 ? b 2 1 2 离心率 e ? c (e ? 1) （离心率越大，开口越大） a 渐近线 y ? ? b x a y ? ? a x b 通 径 双曲线的渐近线： 2b2 a ①求双曲线 x 2 y 2 ? 1的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 x 2 y 2 ? 0 ，因式分 a 2 b 2 a 2 b 2 解得到 x ? y ? 0 。 a b ②与双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程是 x 2 a 2 y 2 b2 ? ? ； 2等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ，其离心率为 2 （4）常用结论：（1）双曲线 x 2 y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F , F ，过F 的 a 2 b 2 1 2 1 直线交双曲线的同一支于 A, B 两点，则?ABF 2 的周长= （2）设双曲线 x 2 y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F , F ，过 F 且垂 a 2 b 2 1 2 1 直于对称轴的直线交双曲 线于 P, Q 两点，则