高中数学第一章导数及其应用阶段复习课第1课导数及其应用学案新人教A版选修.docx

第一课 导数及其应用 导数的概念 [核心速填] f x ＋Δ x －f x 定义：函数 y＝f(x)在x＝x 0 处的瞬时变化率lim 0 Δ x Δ x→0 0 ，称为函数 y＝f(x)在x＝x 0 处的导数． 几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x 处的导数是函数图象在点(x ，f(x ))处的切线斜率． 0 0 0 几个常用函数的导数 (1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0. (2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1. (3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x. y f x 1 f x 1 (4)若 ＝ ( )＝ ，则 ′( )＝－ . x x2 12 x(5)若y＝f(x)＝ x，则 f′(x)＝ 1 2 x 基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c 为常数)，则 f′(x)＝0. (2)若f(x)＝xα (α ∈Q*)，则f′(x)＝α xα －1. (3)若f(x)＝sin x，则 f′(x)＝cos_x. (4)若f(x)＝cos x ，则f′(x)＝－sin_x. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a. 若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex. 若f(x)＝log x，则f′(x)＝ 1 . a f x x xln a f x 1 若 ( )＝ln ， 则 ′( )＝x. 导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． .(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． . (3)′＝??f x ?? (3) ′＝ f x g x －f x g x ?g x ? 复合函数的求导法则 g2 x 复合函数记法：y＝f(g(x))． 中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)逐层求导法则：y′ ＝y′ ·u′ . x u x 函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如 果 f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． (2)函数的极值与导数 ①极大值：在点 x＝a 附近，满足 f(a)≥f(x)，当 x＜a 时，f′(x)＞0，当 x＞a 时，f′(x) ＜0，则点a 叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； ②极小值：在点 x＝a 附近，满足 f(a)≤f(x)，当 x＜a 时，f′(x)＜0，当 x＞a 时，f′(x) ＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． 7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值． 微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么??bf(x)dx＝ a F(b)－F(a)． 定积分的性质 ?①??bkf(x)dx＝k?bf(x)dx； ? a a ②??b[f(x)＋g(x)]dx＝??bf(x)dx＋??bg(x)dx； a a a ③??bf(x)dx＝??cf(x)dx＋??bf(x)dx(其中 a＜c＜b)． a a c [体系构建] [题型探究] 导数的几何意义 导数的几何意义 已知函数f(x)＝x3＋x－16. 求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； 直线l 为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； y f x y 1x 如果曲线 ＝ ( )的某一切线与直线 ＝－ ＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程. 4 [解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 【导学号 ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32. 法一：设切点为(x ，y )， 0 0 则直线l 的斜率为f′(x )＝3x2＋1， 0 0 ∴直线l 的方程为 y＝(3x2＋1)(x－x )＋x3＋x －16. 0 0 0 0 又∵直线l 过点(0,0)， ∴0＝(3x2＋1)(－x )＋x3＋x －16. 0 0 0 0 整理得，x3＝－8， 0 ∴x ＝－2. 0 ∴y ＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. 0 k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y＝kx，切点为(x ，y )， 0 0 y －0 x3＋x －16 则 k＝ 0 ＝ 0 0 ， x －0 x 0 0 又∵k＝f′(x )＝3