高中数学选修2-3两个计数原理.docx

【高考导航】 分类计数原理与分步计数原理又称加法原理和乘法原理,它不仅是推导排列数、组合数计算 公式的依据，而且是最基本的思想方法，这种思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终.在 高考中，运用分类计数原理和分步计数原理结合排列组合知识解决排列组合相关的应用题， 通常不单独命题. 【学法点拨】 对两个原理的掌握和运用，是学好本单元知识的一个关键. 从思想角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类”的思考，分步计数原理是将问题进行“分步”的思考，从而达到分析问题、解决问题的目的. 从集合的角度看，两个基本原理的意义及区别就显得更加清楚了.完成一件事有 A、B 两类 办法，即集合 A、B 互不相交，在 A 类办法中有 m 1 种方法，B 类办法中有 m 2 种方法，即 card(A)=m ，card(B)=m ，那么完成这件事的不同方法的种数是 card(A∪B)=m +m .这就是 1 2 1 2 n=2 时的分类计数原理.若完成一件事需要分成A、B 两个步骤，在实行A 步骤时有m 种方 1 法，在实行 B 步骤时有 m 种方法，即 card(A)=m ；card(B)=m ，那么完成这件事的不同方 2 1 2 法的种数是card（A·B）=card（A）·card（B）=m ·m .这就是 n=2 时的分步计数原理. 1 2 两个原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与“分类” 有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步” 有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.初学时，应结合实例， 弄清两个原理的区别，学会使用两个原理. 【基础知识必备】一、必记知识精选 分类计数原理：做一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有 m 1  种不同的方法，在第 2 类 办法中有 m 2 种不同的方法，?，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共 有 N=m +m +?+m 种不同的方法. 1 2 n 分步计数原理：完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 种不同的方法，?，做第 n 步有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m ×m 2 ×?×m n n 1 2 种不同的方法. 二、重点难点突破 本节重点是准确理解和灵活运用分类计数原理和分步计数原理. 难点是两个原理的恰当运用. 两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这 n 类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一个方法都能单独完成这件事，则用加法计数.若完成这件事需分为n 个步骤，这n 个步骤相互依存.具有连续性，当且仅当这n 个步骤依次全都完成后，这件事才完成，那么完成这件事的方法总数用乘法计算. 处理具体问题时,首先要弄清是“分类”还是“分步”,简单地说是“分类互斥、分步互依”, 因此在解题时,要搞清题目的条件与结论,且还要注意分类时,要不重不漏,分步时合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步,也就是说既要应用分类计数原理又要运用分步计数原理. 三、易错点和易忽略点导析 由于对两个原理理解不清,解题时,易发生分类不全和分类时各类有叠加现象的错误 ,即“遗漏”或者“重复”. 【例 1】 有红、黄、蓝旗各 3 面,每次升一面、二面、三面在某一旗杆上纵向排列，表示不 同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？ 错解：可组成 3×3×3=27 种不同的信号. 正确解法：每次升 1 面旗可组成 3 种不同的信号；每次用 2 面旗可组成 3×3=9 种不同的信号；每次升 3 面旗可组成 3×3×3=27 种不同的信号 .根据分步计数原理得共可组成3+9+27=39 种不同的信号. 错解分析：错解忽略了信号可分为使用的旗数分别可以为1 面、2 面、3 面这 3 类.本题综合应用了乘法原理和加法原理. 【例 2】 在 3000 到 8000 之间有多少个无重复数字的奇数？ 错解：分三步完成，首先排首位有5 种方法，再排个位有5 种方法，最后排中间两位有8× 7 种方法，所以共有 5×5×8×7=1400 个. 正确解法：分两类；一类是以 3、5、7 为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有 3 种方法，再排个位有 4 种方法，最后排中间两个数位有 8×7 种方法，所以共有 3×4×8× 7=672 个. 另一类是首位是 4 或 6 的四位奇数，也可以 3 步完成，共有 2×5×8×7=560 个. 由分类计数原理得共有 672+560=1232 个. 错解分析：由题意，3、5、7 这三个数既可以排在首位，也可