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高考热点追踪(六)
“交融”在本质
高考对复数要求不高，但仍是常考内容．纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识
交融在一起，这些试题从形式上看很 “新”，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请
同学们看下面三个例题．
→ → 3
(2019·南京模拟) 已知O 为坐标原点，向量OZ ，OZ 分别对应复数 z ，z ，且 z ＝
1 2 1 2 1 a ＋5
2
2
＋(10－a )i，z ＝ ＋(2a －5)i(a ∈R)，若 z ＋z 是实数．
2 1－a 1 2
(1)求实数 a 的值；
→ →
(2)求以OZ ，OZ 为邻边的平行四边形的面积．
1 2
3 2 3 ＋ 2
－(10 －a ＋(2a －5)i ＝ ＋(a ＋2a －
【解】 (1)因为 z 1 ＋z2 ＝ 2)i ＋ a ＋5 1 －a 2
a ＋5 1 －a
15)i 是实数 ，
所以 a2 ＋2a －15 ＝0 ．
所以 a ＝3，a ＝－5(舍去) ．故a ＝3 ．
3
(2)由(1)知 ，z1 ＝ ＋i ，z2 ＝－1 ＋i ，
8
→ 3 →
所以OZ ＝ ，1 ，OZ ＝( －1，1)，
1 8 2
→ 73 →
所以|OZ | ＝ ，|OZ | ＝ 2，
1 8 2
3
→ → － ＋1
→ → 〉＝ OZ1·OZ2 ＝ 8 ＝ 5
cos 〈OZ ，OZ ．
1 2 → → 73 146
|OZ ||OZ | × 2
1 2 8
→ → 25 11
所以 sin 〈OZ ，OZ 〉＝ 1 － ＝ ，
1 2 146 146
→ → → → 73 11 11
所以 S ＝|OZ ||OZ |sin 〈OZ ，OZ 〉＝ × 2 × ＝ ．
▱ 1 2 1 2 8 146 8
所以平行四边形的面积为11 ．
8
[名师点评] 在复平面内 ，如果复数变量按照某种条件变化 ，那么对应动点就构成具有
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