高中数学 导数及其应用章末复习学案新人教A版.docx

PAGE PAGE 10 专题课件 专题课件 第一章 导数及其应用 章末复习 学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4. 了解定积分的概念及其简单的应用． 导数的概念  f?x ＋Δ x?－f?x ? 定义：函数y＝f(x)在x＝x 0 处的瞬时变化率lim 0 xΔ x→0 Δ x 0 ，称为函数y＝f(x)在 x＝x 0 处的导数． 几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x 处的导数是函数图象在点(x ，f(x ))处的切线的斜率， 0 0 0 表示为f′(x )，其切线方程为y－f(x )＝f′(x )(x－x )． 0 基本初等函数的导数公式(1)c′＝0. (2)(xα )′＝α xα －1. (3)(ax)′＝axln a(a0)． (4)(ex)′＝ex. 0 0 0 x ??ln x??′＝ 1 (a0，且 a≠1)． (5)(log a x )′＝?ln a? 1 xln a (6)(ln )′＝x. (7)(sin x)′＝cos x. (8)(cos x)′＝－sin x. 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ??f?x??? f′?x?g?x?－f?x?g′?x? g x (3)?g?x??′＝ [g?x?]2 ( ( )≠0)． 复合函数的求导法则 复合函数记法：y＝f(g(x))． 中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)逐层求导法则：y ′＝y ′·u ′. x u x 函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 函数的极值与导数 ①极大值：在点x＝a 附近，满足f(a)≥f(x)，当xa 时，f′(x)0，当xa 时，f′(x)0， 则点 a 叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； ②极小值：在点x＝a 附近，满足f(a)≤f(x)，当xa 时，f′(x)0，当xa 时，f′(x)0， 则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值， 最小的一个就是最小值． 微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 ?bf(x)dx＝F(b)－F(a)． a 定积分的性质 ?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k 为常数)． a a ?b[f (x)±f (x)]dx＝?bf (x)dx±?bf (x)dx. a 1 2 a 1 a 2 ?bf(x)dx＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中 acb)． a a c f′(x )是函数y＝f(x)在 x＝x 附近的平均变化率．( × ) 0 0 函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × ) 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则 ?bf(x)dx0.( √ ) a 类型一 导数几何意义的应用 1 例 1 设函数f(x)＝ x3＋ax2－9x－1(a0)，直线 l 是曲线y＝f(x)的一条切线，当 l 的斜率 3 最小时，直线l 与直线 10x＋y＝6 平行． 求a 的值； 求f(x)在 x＝3 处的切线方程． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程 解 (1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9， f′(x) ＝－a2－9， min 由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1 或－1(舍去)．故 a＝1. (2)由(1)得 a＝1， ∴f′(x)＝x2＋2x－9， 则 k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10. ∴f(x)在 x＝3 处的切线方程为y＋10＝6(x－3)， 即 6x－y－28＝0. 反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两 种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x ， 1 y －y y )，由 0 1＝f′(x )和 y ＝f(x )，求出x ，y 的值，转化为第一种类型． 1 x －x 1 1 1 1 1 0 1 跟踪训练