高中数学数列复习_题型归纳_解题方法整理.docx

标准 数列 典型例题分析 【题型 1】 等差数列与等比数列的联系 例 1 （2010 陕西文 16）已知{a }是公差不为 n 零的等差数列，a ＝1，且 a ，a ，a 成等比数 1 1 3 9 列.（Ⅰ）求数列{a }的通项;（Ⅱ）求数列{2an} n 的前 n 项和 S . n 解：（Ⅰ）由题设知公差 d≠0， 由 a ＝1，a ，a ，a 成等比数列得1? 2d ＝1? 8d ， 1 1 3 9 1 1? 2d 解得 d＝1，d＝0（舍去）， 故{a }的通项 n a ＝1+（n－1）×1＝n. n (Ⅱ)由（Ⅰ）知 =2n，由等比数列前 n 项和 2 am 公式得 S =2+22+23+…+2n= 2(1? 2n) m 1? 2 =2n+1-2. 小结与拓展：数列?a ?是等差数列，则数列{a a }是 n n 等比数列，公比为 a d ，其中a 是常数， d 是?a ?的 n 文案 标准 公差。（a0 且 a≠1）. 【题型 2】 与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合 例 2 已知数列{a }的前三项与数列{b }的前 n n 三项对应相同，且 a ＋2a ＋22a ＋…＋2n－1a ＝ 1 2 3 n 8n 对任意的 n∈N*都成立，数列{b －b }是等 n＋1 n 差数列．求数列{a }与{b }的通项公式。 n n 解： a ＋ 2a ＋ 22a ＋ … ＋ 2n － 1a ＝ 8n(n ∈ N*) 1 2 3 n ① 当 n≥2 时，a ＋2a ＋22a ＋…＋2n－2a ＝8(n 1 2 3 n－1 －1)(n∈N*) ② ①－②得 2n－1a ＝8，求得 a ＝24－n， n n 在①中令 n＝1，可得 a ＝8＝24－1， 1 ∴a ＝24－n(n∈N*)． 由题意知 b ＝8，b ＝4， n 1 2 文案 标准 b ＝2，∴b －b ＝－4，b －b ＝－2， 3 2 1 3 2 ∴数列{b －b }的公差为－2－(－4)＝2，∴ n＋1 n b －b ＝－4＋(n－1)×2＝2n－6， n＋1 n 法一（迭代法） b ＝b ＋(b －b )＋(b －b )＋…＋(b －b )＝ n 1 2 1 3 2 n n－1 8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n2－7n＋14(n∈N*)． 法二（累加法） 即 b －b ＝2n－8， n n－1 b －b ＝2n－10， n－1 n－2 … b －b ＝－2， 3 2 b －b ＝－4， 2 1 b ＝8， 1 文案 标准相加得 b ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) 标准 n ＝ 8 ＋ (n－1)(－4＋2n－8) 2 ＝ n2－7n＋14(n∈N*)． 小结与拓展：1）在数列{a }中，前 n 项和 S n n 与通项 a n 的关系为： ?a ? S (n ? 1) .是重要考点；2）韦达定理应 a ? ? 1 1 ?n S ? S (n ? 2, n ? N) ? n n?1 引起重视； 3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。 【题型 3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质） 例 3 （2009 汕头一模）在等比数列｛a ｝中， n a ＞0 (n N＊），公比 q (0,1)，且a a + 2a a +a n ? ? 1 5 3 5 a ＝25，a 与 a 的等比中项为 2。（1）求数列 2 8 3 s ｛a ｝的通项公式；（2）设 b ＝log a ，数列 n n 2 n 文案 标准 ｛b ｝的前n 项和为 S 当S n n 1 S2 ? ??? ? Sn 最大时，求 n 的值。 1 2 n 解：（1）因为 a a + 2a a +a a ＝25，所以， 1 5 3 5 2 8 + 2a a a2 3 5 3 + ＝25 a2 5 又 a ＞o，…a ＋a n 3 ＝5 又 a 与 a 5 3 5 的等比中项为 2，所以，a a ＝4 3 5 而 q （0,1），所以，a ＞a ，所以，a ＝4，a ? 3 5 3 5 ＝1， q ? 1 ，a 2 ＝16，所以， 1 ? 1 ? 1 ? an ? 16 ?? 2 ?  ? 25?n ? ? （2）b ＝log a ＝5－n，所以，b －b ＝－1， n 2 n n＋1 n 所以，{b }是以 4 为首项，－1 为公差的等差数 n 列。所以， S ? n(9 ? n) , Sn ? 9 ? n n 2 n 2 所以，当 n≤8 时， S ＞0，当 n＝9 时， S n n ＝0， n n n＞9 时， S ＜0， n n 当 n＝8 或 9 时， S 1  S2  ? ??? ? Sn 最大。