高中数学圆锥曲线知识点小结.docx

PAGE PAGE 1 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 F , F 的距离的和 1 2 等于常数（大于| F F |）的点的轨迹。 1 2 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： 2a ?| F F | 表示椭圆；2a ?| F F | 表示线段F F ； 2a ?| F F | 没有轨迹； 1 2 1 2 1 2 1 2 （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 中心在原点，焦点在 y 轴 中心在原点，焦点在x 轴上 上 标准 x 2 ? y 2 a 2 b 2 ? 1(a ? b ? 0) 方程 y 2 ? x 2 a 2 b 2 ? 1(a ? b ? 0) 图 y B 2 P F 形 P y 2 B 2 A 1 A x A x O 2 1 F A 1 O F 2 2 F 1 B B 1 1 顶 点 A (?a,0), A (a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b) 1 2 A (?b,0), A (b,0) B1 (0,?a), B2 (0, a) 1 2 对称 x 轴， y 轴；短轴为2b ，长轴为2a 轴 焦 F (?c,0), F (c,0) 点 1 2 F (0,?c), F (0, c) 1 2 焦 焦 | F F |? 2c(c ? 0) 1 2 c 2 ? a 2 ? b 2 距 离心 率 e ? c (0 ? e ? 1) （离心率越大，椭圆越扁） a 通 2b2 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线 a 径 段） 3．常用结论：（1）椭圆 x 2 y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为F , F ，过F 的 a 2 b 2 1 2 1 直线交椭圆于 A, B 两点，则?ABF 2 的周长= （2）设椭圆 x 2 y 2 ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F , F ，过F 且 a 2 b 2 1 2 1 垂直于对称轴的直线交椭圆于P, Q 两点，则P, Q 的坐标分别是 | PQ |? 二、双曲线： 双曲线的定义：平面内与两个定点F , F 的距离的差的绝对值等 1 2 于常数（小于| F F |）的点的轨迹。 1 2 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： | PF | ? | PF |? 2a 与| PF | ? | PF |? 2a （ 2a ?| F F | ）表示双曲线 1 2 2 1 1 2 的一支。 2a ?| F F | 表示两条射线； 2a ?| F F | 没有轨迹； 1 2 1 2 双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程  x 2 ? y 2 a 2 b 2  ? 1(a ? 0, b ? 0)  y 2 ? x 2 a 2 b 2  ? 1(a ? 0, b ? 0) Pyx P y x F 1 A 1 O A 2 F 2 P y F 2 B 2 O x B 1 F 1 顶 点 A (?a,0), A (a,0) B (0,?a), B (0, a) 1 2 1 2 对称轴 x 轴， y 轴；虚轴为2b ，实轴为2a 焦 点 F (?c,0), F (c,0)  F (0,?c), F  (0, c) 1 2 焦 距 | F F  |? 2c(c ? 0) c 2 1 2 ? a 2 ? b 2 离心率  e ? c a 1 (e ? 1) 2 （离心率越大，开口越大） 渐近线通 径 y ? ? b x a  2b2 a y ? ? a x b 双曲线的渐近线： ①求双曲线x2 y 2 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 x2 ? 1 y 2 ? 0 ， a 2 因式分解得到 x b 2 ? y ? 0 。 a 2 b 2 a b ②与双曲线 x 2 y 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程是 x 2 y 2 ? ? ； a 2 b 2 a 2 b2 2等轴双曲线为x 2 ? y 2 ? t 2 ，其离心率为 2 （4）常用结论：（1）双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为F , F ， a 2 b 2 1 2 过F 的直线交双曲线的同一支于 A, B 两点，则?ABF 的周 1 2 长= （2）设双曲线 x 2  y 2  ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为F , F  ，过F a 2 b 2 1 2 1 且垂直于对称轴的直线交双曲线于P, Q 两点，则P, Q 的坐标分别是 |