高中的数学的知识点的总结大全_______：空间向量与立体几何.docx

实用标准文案 精彩文档 精彩文档 高中数学知识点总结 空间向量与立体几何一、考点概要： 1、空间向量及其运算 （1）空间向量的基本知识： ①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量， 并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 ②空间向量基本定理： ⅰ定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯 一的有序实数组 x、y、z，使。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。 底叫正交基底。 ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基 ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位 正交基底，通常用 表示。 ⅳ 空间四点共面：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间中任意一点 P， 都存在唯一的有序实数组 x、y、z，使。 ③共线向量（平行向量）： ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量，记作 。 ⅱ规定：零向量与任意向量共线； ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实 数λ，使 。  ④共面向量： ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个 向量都是共面向量。 ⅱ向量与平面平行：如果直线 OA 平行于平面或 在α内，则说向量 平行于平 面α，记作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 ⅲ共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量y，使 。 与向量 、 共面的充要条件是：存在实数对 x、 ⅳ空间的三个向量共面的条件：当 、 、 都是非零向量时，共面向量定理实 际上也是 、 、 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一 点在另两条直线所确定的平面内。 ，ⅴ共面向量定理的推论：空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是：存在有序实数对 x、y，使得，或对于空间任意一定点 O，有。 ， ⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点 O，作 （两个向量的起点一定要相同），则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。 ⑥两个向量的数量积： ⅰ定义：已知空间两个非零向量 、 ， 则 记作 ，即： 。 ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为 0。 叫做向量 、 的数量积， ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量 、 的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。 角）。 ⅳ数量积的几何意义： 叫做向量 在 方向上的投影（其中θ为向量 和 的夹 即：数量积ⅴ基本性质： 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。 ⅵ运算律： 空间向量的线性运算： ①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下： ②加法： ④数乘向量： ③减法： ⑤运算律： ⅰ加法交换律： ⅱ加法结合律： ⅲ数乘分配律： 二、复习点睛： 1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决 三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标 系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行 向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足 结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差 公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面 两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。 2、空间向量的坐标表示： （1）空间直角坐标系： ①空间直角坐标系 O-xyz，在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 ，以点 O 为原点，分别以 做原点，向量 平面，zOx 平面。 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，点 O 叫叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面，yOz ②右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向； ③构成元素：点（原点）、线（x、y、z 轴）、面（xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面）； ④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系 O-xyz 时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z 轴垂直于 y 轴，z 轴、y 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为 y 轴（或 z 轴） 的一半；