高中数学 导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教A版.docx

PAGE PAGE 10 专题课件 专题课件 §1.6 微积分基本定理 学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分． 知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则 ?1(2x＋1)dx 与F(1)－F(0)有什么关系？ 0 1 答案 由定积分的几何意义知，?1(2x＋1)dx＝ ×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故 ?1(2x＋ 0 2 0 1)dx＝F(1)－F(0)． 梳理 (1)微积分基本定理 ①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)； ②结论：?bf(x)dx＝F(b)－F(a)； a ③符号表示：?bf(x)dx＝F(x)|b＝F(b)－F(a)． a a (2)常见的原函数与被积函数关系 ①?bcdx＝cx|b(c 为常数)． ?a a ? 1②?bxndx＝ xn＋1?b(n≠－1)． 1 a n＋1 ?a ③?bsin xdx＝－cos x|b. a a ④?bcos xdx＝sin x|b. a a 1 ⑤?b dx＝ln x|b(ba0)． ax a ⑥?bexdx＝ex|b. a a a?aax a? a ⑦?baxdx＝ a ln ?b(a0 且 a≠1)． 2 3 ? ⑧?b a xdx＝ x 2 ?b(ba0)． 3 ?a 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 答案 当被积函数 f(x)≥0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0 不恒成立，则不相等． 梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S ，在x 轴下方的面积为S ，则 上 下 当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则 ?bf(x)dx＝S a 上． 当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则 ?bf(x)dx＝－S a 下． 当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则?bf(x)dx＝S －S 特别地，若S ＝S ，则 ?bf(x)dx＝0. a 上 下． 上 下 a 1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．( × ) 微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( √ ) 应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ ) 类型一 求定积分 命题角 命题角度1 求简单函数的定积分 例 1 计算下列定积分． ?1(2x＋ex)dx； 0 ?1 ? ?2? －3cos x?dx； 1?x ? π x x (3) ? 2 (sin 0 cos )2 dx; 2 2 (4)?3(x－3)(x－4)dx. 0 考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)?1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|1 0 0 ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e. ?1 ? ?x ?(2)?2? －3cos x? ?x ? 1 ＝(ln x－3sin x)|2 1 ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. ??sin －cos ? ??sin －cos ?2?2 (3)∵ 2 x x ＝1－2sin cos ＝1－sin x， 2 2 π x x π ∴ ? 2 (sin ? cos )2 dx ? ? 2 (1-sin x)dx 0 2 2 0 π? ( x＋cosx) |2 π 0 ＝??π ＋cos π ?? π ? 2 2 ?－(0＋cos 0)＝ 2 －1. (4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴?3(x－3)(x－4)dx 0 ＝?3(x2－7x＋12)dx 0 ?1 7 ?? ＝ ? x3－ x2＋12x??3 ?3 2 32 2?1 3 2 2 ??0 ? 27 ＝?? ×33－ ×32＋12×3??－0＝ . 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)． 由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)． 跟踪训练 1 计算下列定积分． ? 1? ? x?(1)?2?x－x2＋ ? ? x? 1 (2) 2? π (cos2 0 (2) 2 x x sin2 )dx ； 2 2 ?9 4 x(1＋ x)dx. 考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分 ? 1? ? x?解 (1)?2?x－x2＋ ? x? 1 ?1 1 ?? ＝ ? x2－ x3＋ln x??2 ?2 3 23?1 1 2