高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 专题13 数学归纳法 （学生版+解析版）.pdf

【高中数学竞赛真题· 强基计划真题考前适应性训练】 专题13. 数学归纳法真题专项训练〈全国竞赛＋强基计划专用〉 一、填空题 1. (2019全国高三竞赛〉在数列｛钟书， 叶，吼 ＝2什。小 其l书， 附示不超 叫 过实数 x 的最大整数．则 a2酬 ＋a20,o ＝ · 一一一一 工 。 」 。 ＋土 n 2. (20 协全国·高三竞赛〉 已知实数列（。”｝定义为俨 ， ，，＋ I ＝ I ” ］（ EN）设 2 2 t Sa J 人 ＝古州）中有一个完全平方数 二、解答题 3. (2021·全国·高三竞赛〉数列｛矶 ）满足： a, =0 ＝ I 。 ， ，何 ， ，， ＝础，已 ｛a； ＋ α，问 ＋i｝，求｛α，， ｝的 通项公式 4.(2阳全国高三竞赛〉求所有的函数f:Z→R，满足 ！（片，且对于所有格数几 Y, 有 f(x)f(y←f(x+ y)+ f(x-y). I I I 5. (2021·全国·高三竞赛〉已知 ，， ＝ ！ ＋－ ＋－ ＋ +-(n.eN. ）.证明：当 n三 2 时， 2 3 n 6. (2018 a0 = I ’ a ＝ I 金固高三竞赛〉 设 ••’ i：言（归＝ 0’ , ） ，求i正： (1 ） 叶×士（n = 1, ( 2 ） α 豆%［t♂r(n = 7. (2018全国高三竞赛〉设 2n 个实数矶， az ， · · ， 。，，： 句，屯．．，句（n 兰 3）满足条件 ， (I ）叫 ＋ ... a2 + ＋龟， ＝纠 ＋b + ... ＋践， ； 2 (2) O a, ＝饨， ， ＋如＝ α叫 （i= 1,2, .. ,n-2): (3) 0 ＜纠三句 ， 均＋儿， 三 ι2 (i=l,2,... ,n-2). ＋ 求ii[: a._, + a., 豆 b._, 战， ． 8. (2019·全国高三竞赛〉 设数列｛α小 b +I =7α ＋ IOι ．证明；对任意的 m、 ne N 。 ＋战 ＝ 。 a. ＋ 战占． n ” ， ”时 肿，， ”’ n 9. (2018·全国高三竞赛〉若百位数字为 9 的 位自然数 N 的各位数字之和为 M ， 其中 川，当立 的值最小时，N是多少？ 一 10. (2019·全国高三竞赛〉求证 ： 数列龟，＝ 3气osl narccos .!. l(n = 1, 2 ）的每 项都是