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直线y=x模型求解递推数列题
一给定函数y
一给定函数y = f (X)的图象在下列图中,并且对任意a 1住(0,1),由关系式a = f (a )得 到的数列{a }满足a + 1 a (n e N *),则该函数的图象是 1 ()
某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并 且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万量,那么 每年新增汽车数量不应超过多少辆
标准答案
解:设2002年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,气万辆……, 每年新增汽车X万辆,则
b = 30,b = b x 0.94 + x
对于n 1,有
b 1 = b x 0.94 + x
=b x 0.94 2 + (1 + 0.94)x
b = b x 0.94 n + x(1 + 0.94 + …+ 0.94 n-1)
-0.94n
=b x 0.94 n + x
0.06+ (30 —
0.06
+ (30 —
0.06
)x 0.94
当 30 —-^ 0,即 x 1.8 时,
0.06
当 30 -
当 30 - -^ 0
0.06
即x 1.8时
并且数列队}逐项增加,可以任意靠近点
X
X
0.06
即
lim b = lim[-^ + (30 - ^^) x 0.94 n-1 ] …n n * 0.06 0.06
因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,
b 60 (n = 1,2,3,……)
则^ 60,即x 3.6 (万辆)
0.06
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆。
0.06t0.06\b = b x 0.94 + t i b =
0.06
t
0.06
TOC \o 1-5 \h \z t t
30, t 1.8 b b b ... b lim b = 60 1.8 t 3.6 0.06 1 2 3 r x* 0.06
t 30, t 1.8 b b b ... b b = 30 = 60 1.8 t 0.06 n n t n -2 1 1
=3
=3
=30, t = 1.8, b
0.06 n
自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及 捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n£N*,且气0.不考虑 其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些 比例系数依次为正常数a,b,c. n n
求xn+1与xn的关系式;
猜测;当且仅当X],a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?
(不要求证明)
(II)设a = 2, b=1,为保证对任意X]E(0,2),都有X 0, n g N ?,则捕捞强度b
最大允许值是多少,证明你的结论
20.解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为
cx2,因此 x 一 x = ax 一 bx 一 cx 2, n g N * .(*) n n +1 n n n n
即 x「= x ^ (a 一 b + 1 一 cx ), n g N * .(**)
n£N*,从而由(*)式得* a
n£N*,从而由(*)式得
* a 一 b
=0 即 x = .
x (a - b - cx )恒等于 0, n g N *,所以 a - b - cx
因为%0,所以ab.
猜测:当且仅当ab,且x 1 =…时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(III)若b的值使得xn0,n£N*
由 xn+1=xn(3—b—xn), n^N*,矢口
0xn3-b, n£N*,特别地,有 0x]3—b.即 0b3—x「
而 x]£(0, 2),所以 b g (0,1]
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当 x1 e(0, 2),b=1 时,都有xne(0, 2), n^N*
当n=1时,结论显然成立. n
假设当n=k时结论成立,即xke(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2—xk)0.
又因为 xk+1=xk(2—xk)= — (xk—1)2+1 W 12, 所以xk+1e(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的neN*,都有xne(0,2).
TOC \o 1-5 \h \z 综上所述,为保证对任意%仁(0, 2),都有孔0, n£N*,则捕捞强度b的最大允 许值是1. n
解二
〔y = - cx 2 + (a — b + 1) x a — b
x =—— (a b)鱼群保持不变
[y = x 1 c
一 一 3 — b (3 — b)2 ?
a=2,c=1,
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