三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲 数列求和精英篇(解析版)全国通用.pdf

第二讲 数列求和 知识导航 德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元 1777 年-1855 年）。他上小学的时候，老师出了一个题目， 1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050 。同学们，你们知道他是怎么算出来 的吗？ 原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列 的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后 一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。 后项与前项的差叫做这个数列的公差。 如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为 1； 2，4，6，8，…是等差数列，公差为 2 ； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为 5 。 进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2 ＋99 ＝101，3 ＋98 ＝101，…，50 ＋51 ＝101。一 共有多少个 101 呢？100 个数，每两个数是一对，共有 50 个 101。 所以： 1＋2 ＋3 ＋…＋98+99+100 ＝101×50 即， 和= (100＋1)×(100÷2) ＝101×50 ＝5050 这道题目，我们还可以这样理解： 即，和= (100＋1)×100÷2 ＝101×50 ＝5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式： 总和＝(首项+末项)×项数÷2 这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅 速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的 特点。 例题精讲 【例1】 找找下面的数列有多少项？ （1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2 ）3、4、5、6、……、76 、77 、78 （3 ）4、7、10、13、……、40、43 、46 （4 ）2、6、10、14、18、……、82、86 分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是 100 项， 现在不妨这样去看：（1、2 ）、（3、4 ）、（5 、6 ）、（7、8 ）、……、（95、96 ）、（97、98 ）、（99、100），让它 们两两一结合，奇数在每一组的第 1 位，偶数在第 2 位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道， 共有 100÷2=50 组，每组把偶数找出来，那么原数列就有 50 项了。 （2 ）连续的自然数列，3 、4、5、6、7、8、9、10…… ，对应的是这个数列的第 1、2、3、4、5、6、7 、 8、…… ，发现它的项数比对应数字小 2，所以 78 是第 76 项，那么这个数列就有 76 项。对于连续的自 然数列，它们的项数是：末项 — 首项 + 1 。 （3 ）配组：（4、5、6 ）、（7、8、9 ）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46 、47 、48 ），注意等差是3 ， 那么每组有 3 个数，我们数列中的数都在每组的第 1 位，所以 46 应在最后一组第 1 位，4 到 48 有 48-4+1=45 项，每组 3 个数，所以共 45÷3=15 组，原数列有 15 组。当然，我们还可以有其他的配组方法。 （4 ）22 项． 对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学 生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望 教师能帮助孩子牢固掌握。 【例2 】 计算下列各题： （1）2 ＋4 ＋6 ＋…＋96 ＋98 ＋100 （2 ）2 ＋5+8+…＋23+26 ＋29 分析：（1）这是一个公差为 2 的等差数列，首项是2 ，末项是 100，项数为 50 。 所以：2+4+6 ＋…+96＋98+100 ＝(2+100)×50÷2 ＝2550 （2 ）这是一个公差为 3，首项为 2，末项为 29，项数是 10 的等差数列。 所以：2 ＋5 ＋8 ＋…+23+26＋29 ＝(2+29)×10÷2 ＝155 其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！ 【例3 】 你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？