太原理工微积分与数学模型10年修改版第九章理工大高数.pdfVIP

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2023-08-05 发布于北京
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太原理工微积分与数学模型10年修改版第九章理工大高数.pdf

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第五节隐函数的求导法则 ~ 一个方程的情形二方程组的情形一、一个方程的情形 1. F (x , y ) = 0 隐函数存在定理1 设函数 F (x , y ) 在点P (x , y ) 0 0 的某一邻域内具有连续的偏导数,且 F (x0 , y 0 ) = 0 F (x , y ) „0, 则方程F (x , y ) = 0 在点P (x , y ) 的 y 0 0 0 0 某一邻域能唯一确定一个单值连续且具有连 y = f (x ),它满足条件y = f (x ), 续导数的函数 0 0 并有 dy = -Fx dx F 隐函数的求导 y 例１验证方程x 2 +y 2 -1 =0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导, 且 y =1 y = f (x ) ， x =0，时的隐函数求这函数的一阶和二阶导数在x = 0 的值。解: 令 F (x , y ) = x 2 +y 2 -1 则 Fx = 2x , Fy = 2y F (0,1) =0 , F (0,1) = 2 „0 x y 依定理知方程 x 2 +y 2 -1 =0在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导,且 x =0，y =1 时的函数 y = f (x ) 函数的一阶和二阶导数为 dy = -Fx x dy =0 = - , dx Fy y dx x =0  x  2 y -x -  d y = -y -xy = -  y  = - 1 2 2 2 3 dx y y y 2 d y = -1 dx 2 x =0 2 2 y