06071线性代数及答案.docx

( (线代－A 卷) 第 PAGE 1 页 共 6 页 线 性 代 数(A)试 卷A 卷 一．单项选择题（每题 3 分，共 15 分） 1．设? , ? 1 2 , ? , ? , ? 1 2 3 为 4 维列向量组，行列式 A ? ? , ? 1 2 , ? , ? 3 1 ? ?4 ， B ? ? , ? , ? , ? 1 3 2 2 ? 1，则行列式 A ? B ? a. 40； b. －40； c. －3； d. －16 。 设 A , B 为n 阶矩阵,且 AB ? 0 , B ? 0 ，则必有 a. | A* | ? 0 ； b. | B* | ? 0 ； c. | B | ? 0 ； d. A ? 0 。 已知 A , B 为四阶方阵, A ? ? 2 , B ? ?2 ,则 A* (2B ) ?1 ? a. 1 ； b. ? 1 ； c. 2 ； d. 8 。 4 4 设 A ? (a i j ) 3 ? 3 为非零实矩阵， a i j ? A ， A i j i j 是行列式 | A | 中元素a 的代 i j 数余子式，则矩阵 A 必为 不可逆矩阵； b. 对称矩阵； c. 正交矩阵； d. 正定矩阵。 设 A 为m ? n 矩阵, b ? 0 ,且 r( A) ? n ,则线性方程组 Ax ? b . 有唯一解； b. 有无穷多解； c. 无解； d. 可能无解。 二. 填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．已知 A 为2 ? 3 矩阵, r( A) ? 2 ,? , ? 1 2 ? 1 ? ? 1 ?  是非齐次线性方程组 Ax ? b 的有解,且 ? ? ? 2? ， ? ? ? ? ?? 1? ， 1 ? ? 1 2 ? ? 1 1? ? ? 1 1 ? ? ? ? 则线性方程组 Ax ? b 的通解为 。 ? 1 a 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? 已知矩阵? a 1 b ? 相似于对角阵? 1 ? ，则a = ， b = 。 ? 1 b 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 已知行列式 D ?| a |? 1 i j 2 0 2 1 4 2 0 0 i j2 3 4 , A 是 ai j i j 0 0 1  的代数余子式, 则 2 A 41 4 A ? 。 4 2 ? 2 1 2? 2 ? 3 ? ?设 A ? ? a b ? 2?? 2 ? 1 2 ? ? 3 1 ? ? 18 ? ?4 ? ，若 A 为正交阵，则a ? ， b ? 。 ? 18 ? 1 ? 18? 18 ? 设 A 为n 阶矩阵，满足 A2 ? 4 A ? 3E ? O ，则（A ? 2E）?1 ? 。 三． 计算题（每题 9 分，共 54 分） a ? 1 a ?1 2 ? a3 ? an 1计算 n 阶行列式 D ? a 1 a ? 2 a a 2 3 n ? ? ? ? ? a a a 1 2 3 a ? n ?n ?  ? 1 ? 2 0? ? ? ? ?已知 A , B 为3 阶矩阵，且满足方程 2 A ?1 B ? B ? 4E ，其中 B ? ? ? ? 2 0? （1） 证明：矩阵 A ? 2E 可逆； （2）求矩阵 A 。 ? 0 0 2? ?? x ? x ? 2x ? 1 ? 1 ?设线性方程组为 2x ? 2 4x 3 2x ? b ，试问a , b 取何值时，此线性方程组无解， ? 2 1 2 3 ? x ? 3x ? ax ? 0 1 2 3 有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。 4．设n 维行向量 ? ? (1,1,?,1) , n 阶矩阵 A ? E ? ? T? 。 求矩阵 A 的特征值和特征向量； 问矩阵 A 是否可相似于对角阵？若能，求出可逆阵 P 和对角阵? ，使 P ?1 AP ? ? 。 若不能，请说明理由。 求正交变换 x ? Q y ，将实二次型 f (x , x , x 1 2 3  ) ? 3x 2 1  ? 3x 2 2  4x x 1 2  x 2 3  化为标准 形，并写出正交变换 x ? Q y 。 ?设? , ? , , ? 是实数域上的线性空间V 的一个基，向量组 ? 1 2 n ? ?? ? ? , ? ? ? ? ? , , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 1 2 n 1 2 n ? ? ?(1) 证明? , ? , , ? 也是V 的一个基，并求出由? , ? , , ? 到? , ? ? ? ? 1 2 n 1 2 n 1 2 n 的过渡矩阵C ； ? ?(2) 设向量? ? n? ? (n ?1)? ? ? 2? ?