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函数的驻点、奇点：
(1)若f (x ) =0,则x 称为f (x )的驻点
.
0 0
(2)若f (x )不存在,则x 称为f (x)的奇点.
0 0
如：x =0是下列函数的驻点：
2 2 3
f (x ) =1-x ,f (x) =x ,f (x) =x ；
1 2 3
x =0是下列函数的奇点：
3
g (x ) =1-| x | ,g (x ) =| x | ,g (x) = x .
1 2 3
3.5 函数的极值和最值
一、函数的极值：
1、定义：
(1)若$d 0使x ˛U(x ,d)有f (x) ‡ f (x ),则
0 0
：
f (x )为f (x)的极小值,x 为f (x)的极小值点.
0 0
(2)若$d 0使x ˛U(x ,d)有f (x) £f (x ),则：
0 0
f (x )为f (x)的极大值,x 为f (x)的极大值点.
0 0
如：x =0是f (x )和g (x)的极大值点；
1 1
x =0是f 2 (x )和g2 (x)的极小值点；
f (x )和g (x )无极值点.
3 3
注1、函数的极大值和极小值统称极值；
2 、函数的极大值点和极小值点统称极值点；
3 、函数的极值是邻域性概念；
4 、函数在闭区间上的极值不能在端点处取得；
5、函数的极大值不一定比极小值大.
2、Th1：若x 是f (x )的极值点且f (x )存在,
0 0
则f (x ) =0. 费马引理
0
(1)可导极值点必为驻点；
(2)驻点外的极值点必为奇点；
(3)x 是极值点x 是驻点或奇点.
0 0
(反之不一定)
▲可疑极值点：驻点或奇点.
Pf：f (x )存在f (x ) =f (x ) =f (x ),
0 0 + 0 - 0
且$d 0使x ˛U(x ,d)时有f (x) ‡ f (x )
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