空间向量巧解平行,垂直关系.docx

课程馆息 高中数学 — 编稿老师 空间向量巧解平彳? 1 刘咏霞一校 1 I 亍、垂直关系 1 黄楠［二校 — 杨雪 审核 郑建彬 聃i!E畅定位【明晡目标有的鲸】 一.考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 空间向量巧解 平行、垂直关系 能够运用向量的坐标判断两个 向量的平行或垂直。 理解直线的方向向量与平面的 法向量。 能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题，体会向量方法在 立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。 二，■难点提示 重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。 fll考由精讲【知曜点姬突破】 考点一：直线的方向向■与平面的法向量 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平函，记作 a±a，此时向量a叫作平面以的法向量。 【核心归纳】 ①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线 的。 ②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面 是唯一确定的。 【随堂练习】 已知A(1，1，0),B(1，0，1),C(0，1，1),则平面ABC的一个法向量的单位 向量是( ) A. (1,1,1) B.净乎单 C (1 1 1) (333) D.净罗，-*) 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 uua uuu 答案：设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), AB =(0,-1,1), BC 二(- (UUK AB-n = — y + z = 0 uuu uuu 1,1,0), AC =(-1,0,1),贝 U J BC -n = — x + y = 0 ,.?.x = y = z, uuir AC-n = — x + z = 0 又?.?单位向量的模为1,故只有B正确。 技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z)。 (2 )找出(求出)平面内的两个不共线的向量向=(a ,b ,c ), b =(a ,b ,c )o \[, [, [/, * /o (3 )根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组:a = 0 [n?b = 0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 线线平行 设两条不重合的直线l, m的方向向量分别为a-(a1,b1,c1), b-(a2, b , c )则 l ii moa ii b^ (a , b , c )-k (a , b , c ) , , I,]/]/ Q/Q/Q 线面平行 设l的方向向量为a -(a , b , c )以的法向量为u -(a , b , c ) , [, [/, , *?, *?/, 贝U lii aoa±uoa-u - 0oa a +b_ b + c，c。-0 人」 12 12 12 面面平行 设a , 8的法向量分别为u -(a , b , c ) v-(a , b , c ) , , [, [/, / *?, *?/, 贝 UaiiBouiivo (a ,b ,c )- k (a ,b ,c ) i,]，]/ , , 线线垂直 设两条不重合的直线l / m的方向向量分别为a-(a1,b1,c1), b-(a2, b , c )，贝U l ± moa ± boa-b - 0oa a +b b +c c -0 2/2，,aJ 12 12 12 线面垂直 设l的方向向量为a -(a , b , c )以的法向量为u -(a , b , c ) I, [, [/, , *?, *?/, rnil I I r. 、q ii ,■/ 、q — l^i k ( o H 广、一|z / o H c \ ( lx/— D \ 则 naoa ii uoa - kuo (a1,b1,c1)-k (心？，。？，。？)( kt r ) 面面垂直 设a , 8的法向量分别为u -(a , b , c ) v-(a , b , c ) , I I, I， , *?, *?/, 则a^Bou±vou?v-0oa a +b b +c c -0 AJL 12 12 12 考点二：用向■法证明空间中的平行关系.垂直关系 直  【核心突破】 用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这 种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推 理的难度，体现了由形转数的转化思想。 用空间向量解决立体几何问题的三步曲： 建立立体图形与空间 向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及 的