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课程馆息
高中数学
—
编稿老师
空间向量巧解平彳?
1
刘咏霞一校
1
I
亍、垂直关系
1
黄楠[二校
—
杨雪
审核
郑建彬
聃i!E畅定位【明晡目标有的鲸】 一.考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
空间向量巧解 平行、垂直关系
能够运用向量的坐标判断两个 向量的平行或垂直。
理解直线的方向向量与平面的 法向量。
能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题,体会向量方法在 立体几何中的作用。
选择题 填空题 解答题
注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。
二,■难点提示
重点:用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。
难点:用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
fll考由精讲【知曜点姬突破】
考点一:直线的方向向■与平面的法向量
直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平函,记作
a±a,此时向量a叫作平面以的法向量。
【核心归纳】
①一条直线的方向向量有无数多个,一个平面的法向量也有无数多个,且它们是共线
的。
②在空间中,给定一个点A和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点A的平面 是唯一确定的。
【随堂练习】
已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位
向量是( )
A. (1,1,1)
B.净乎单
C (1 1 1)
(333)
D.净罗,-*)
思路分析:设出法向量坐标,列方程组求解。
uua uuu
答案:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), AB =(0,-1,1), BC 二(-
(UUK
AB-n = — y + z = 0
uuu uuu
1,1,0), AC =(-1,0,1),贝 U J BC -n = — x + y = 0 ,.?.x = y = z,
uuir
AC-n = — x + z = 0
又?.?单位向量的模为1,故只有B正确。
技巧点拨:一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z)。
(2 )找出(求出)平面内的两个不共线的向量向=(a ,b ,c ), b =(a ,b ,c )o
\[, [, [/, * /o
(3 )根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组:a = 0
[n?b = 0.
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。
线线平行
设两条不重合的直线l, m的方向向量分别为a-(a1,b1,c1), b-(a2, b , c )则 l ii moa ii b^ (a , b , c )-k (a , b , c ) , , I,]/]/ Q/Q/Q
线面平行
设l的方向向量为a -(a , b , c )以的法向量为u -(a , b , c )
, [, [/, , *?, *?/,
贝U lii aoa±uoa-u - 0oa a +b_ b + c,c。-0
人」 12 12 12
面面平行
设a , 8的法向量分别为u -(a , b , c ) v-(a , b , c )
, , [, [/, / *?, *?/,
贝 UaiiBouiivo (a ,b ,c )- k (a ,b ,c ) i,],]/ , ,
线线垂直
设两条不重合的直线l / m的方向向量分别为a-(a1,b1,c1), b-(a2, b , c ),贝U l ± moa ± boa-b - 0oa a +b b +c c -0
2/2,,aJ 12 12 12
线面垂直
设l的方向向量为a -(a , b , c )以的法向量为u -(a , b , c )
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面面垂直
设a , 8的法向量分别为u -(a , b , c ) v-(a , b , c )
, I I, I, , *?, *?/,
则a^Bou±vou?v-0oa a +b b +c c -0
AJL 12 12 12
考点二:用向■法证明空间中的平行关系.垂直关系
直
【核心突破】
用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这 种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推 理的难度,体现了由形转数的转化思想。
用空间向量解决立体几何问题的三步曲:
建立立体图形与空间 向量的联系,用空间 向量表示问题中涉及 的
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