分式重点难点例题练习题自测题.pdf

分式 重点、难点例题解析 【重点、难点例题解析】 例1 下列各分式，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？ 令x－2=0，得x=2 又当x=2时，3x+5≠0 2 （2）令x－1=0，得x=1，x=－1 1 2 2 令x－x－2=0，得x=2，x=－1 1 2 2 2 又当x=2时，x－1≠0，当x=－1时，x－1=0 注： （1）分式的有无意义取决于分母中字母的取值，所以只需讨论分母中字母的取值 情况，讨论分式的值必须在分式有意义的前提下进行，因此在讨论何时分式的值为零时须同 时考虑以下两点：①字母取值使得分子值为零；②字母取值使得分母值不为零． （2）求分式中字母的取值范围时，切不可将原分式的分子，分母进行约分，否则字母 的取值范围可能会被扩大． 如s：当x取何值时，分式 令x+6=0，得x=－6 ∴当x≠－6时，分式有意义． 在上面的解题过程中，分子、分母约去了（x+1），原分式变形为 例2 不改变分式的值，求解． 数； 分析：本题都是有关分式的恒等变形，不改变分式的值是变形的前提与关键，变形的 依据是分式的基本性质和符号法则，在运用符号法则时要注意，一个分式三处有符号 （分式 本身、分子、分母），要同时改变两处的符号，才能保证分式的值不变． 例3 约分． 解：（1）分析：此分式的分子、分母均为单项式，约去分子、分母中相同字母的最低 次幂，系数约去最大公约数． （2）分析：可以把（x+y）、（a－b）看做一个整体． （3）分析：当分式的分子、分母是多项式时，需通过因式分解将其转化为因式乘积的 形式，再进行约分，且约分的结果可以是整式． 注：一个分式的最后形式必须是最简分式． 例4 通分． 3 2 3 解：（1）∵最简公分母是60abc， （2）把各分母因式分解，得 2 2 2 2 x+2x+1=（x+1），x+x=x（x+1），x－1=（x+1）（x－1）∴最简公分母是x（x－1） （x+1）2 注：进行分式的通分时，若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式 的最高次幂的乘积，作为公分母，这样的公分母即最简公分母，公分母除以原分母所得的商 即为分子、分母所要乘的因式．若分母是多项式，应先把各分母分解因式，以确定最简公分 母．同约分一样，分式的通分也是对分式进行恒等变形，它的依据是分式的基本性质，通分 前后的分式值不变． 例5 计算． 分析：分式的乘除法要注意运算顺序，要按照从左到右的顺序进行；遇到除法运算要 转化为乘法运算；运算的关键是约分，当分子、分母是多项式时，一般先因式分解，再约分， 使运算简化，注意计算结果应为最简分式（或整式）． 例6 计算． 分析：分式的乘方依据分式乘方的法则，在运算中要注意符号，另外不要忘记系数也 要乘方． 例7 计算． 分析：分式的加减法运算，首先要判断分母是否相同，若是同分母分式相加减，分母 不变，把分子相加减，分子是多项式时，合并成一个分式后，原来的分子要添括号．若各分 母不全相同，则应通过通分将其化为同分母分式的加减法，注意运算的结果应是最简分式（或 整式）． 例8 计算． 解：（1）分析：如果四个分式一起通分，每个分子都将是三个整式的乘积，运算量较 大，不妨适当分组，两两组合，通分化简后再计算，较为简单． 2 2 2 2 2 2 4 （2）分析：观察每个分母，发现（x－y）（x+y）=x－y，而（x－y）（x+y）=x 4 4 4 4 4 8 8 －y，（x－y）（x+y）=x－y，所以不妨从左到右依次通分． 将其拆成两个分式，可与前两个分式合并，以简化原式． （4）分析：