高中数学选择性必修三第五章知识点总结数列.docxVIP

高二下册数学知识点复习 小新老师总结 PAGE 2 选择性必修第三册 第五章 数列 5.1 数列基础 一、数列 1.数列的基本概念 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的一般形式 数列的一般形式可以写成，简记为，其中称为数列的第1项（或称为首项），称为数列的第2项，称为数列的第n项. 3.数列的分类 （1）按项数多少来分，可分为： ①有穷数列：项数有限的数列，如1，2，3，…，10 ②无穷数列：项数无限的数列，如1，2，3，4，… （2）按数列的每一项随序号变化的情况来分，可分为： ①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，如0，1，2，3，…，n，… ②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，如10，9，8，7，… ③常数列：各项相等的数列，如1，1，1，1，… ④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，如1，-1，2，-2，… 2.数列的通项公式 如果数列中的第项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.2等差数列 一、等差数列 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，数列的首项用来表示. 数学符号语言：（d为常数）（） 当时，数列为常数列，比如3，3，3，3，… 当时，数列为递增数列，比如1，3，5，7，… 当时，数列为递减数列，比如8，4，0，-4，-8，… 2.等差数列的通项公式 以为首项，为公差的等差数列的通项公式为 3. 等差数列的通项公式的变形应用 已知等差数列中的任意两项，则根据通项公式可得， ，联立消去可得： 则可得等差数列的变形为，以及 4.等差中项的定义： 由三个数a、A、b组成的等差数列，其可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a和b的等差中项.事实上，若a、A、b成等差数列，即，则A就是 a和b的等差中项. 若，即，则a、A、b成等差数列. 5.等差数列的中项定理 若正整数，满足，则有； 6.等差数列的前n项和 8.等差数列的前n项和的性质 ①等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得，当时，等差数列通项公式中等号右边是关于自变量n的一次整式，一次项系数就是等差数列的公差. ②等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列中， 9.等差数列恒等性 若，则 （其中） 10.等差数列的等分性 等差数列中依次项之和仍组成等差数列， 即数列，，，…是以为公差的等差数列.此数列又可写成，，，…是以为公差的等差数列. 11.等差数列前n项和的最值问题： 设等差数列的首项为，公差为，则 Ⅰ.当等差数列为递减数列时，即 ①当时，有最大值，无最小值； ②当时，数列只有前面的有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，所以有最大值，无最小值； Ⅱ.当等差数列为递增数列时，即 ①当时，数列只有前面的有限项为负数，从某项开始所有项均为非负数，所以有最小值，无最大值； ②当时，有最小值，无最大值； Ⅲ.当时，数列为常数列， ①当时，为最小值，无最大值； ②当时，为最大值，无最小值. 5.3 等比数列 1.等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示，数列的首项用来表示. 数学符号语言：（q为常数，且q≠0）（） 2.等比数列的分类 公比. 当时，数列为摆动数列； 当时， 当时，数列为常数列 当时， 3.等比数列的通项公式 以为首项，为公比的等比数列的通项公式为 4.等比中项的定义： 由三个数a、G、b组成的等比数列，G叫做a和b的等比中项. 由等比中项定义可知：； 反之，若，则，即a、G、b成等比数列. 故a、G、b成等比数列.值得注意的是，等比数列奇数项________，偶数项_________. 5.等比数列的中项定理 若正整数，满足，则有； 6.等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为，则等比数列得前n项和为 ；； 【数列的通项公式求法】 一、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解. 注意： 当使用作差法求通项公式的时候，必须求出n=1时的值； 若n=1时，若表达式对应的值不等于，则数列的通项公式要分段表示. 二、累加（乘）法 对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。 累加法 使用标志：形如的递推公式（类比等差数列） 解题过程：当时，