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利用旋转解决几何问题 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。 旋转的三要素 1、旋转中心：旋转时的定点； 2、旋转方向：顺时针或者逆时针； 3、旋转角：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。 旋转的性质 旋转只改变图形的位置，而不改变图形的大小和形状。 图形中的每一点都绕着旋转中心转动了同样大小的角度； 对应点到旋转中心的距离相等； 对应角、对应线段相等。 旋转伴随着几何元素位置的变化会使得这些元素重新组合，会产生新的角或者新的多边形。 与旋转相关的几何题型 以等边三角形为背景的旋转 1、方法:一般将与等边三角形共边的三角形顺时针或者逆时针旋转。 2、结果：连接对应点出现新的等边三角形。常会结合勾股定理、勾股定理的逆定理解题。 等边△ABC，P是△ABC形内一点，连结PA、PB、PC，以点A为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60度，可以得到△APD为等边三角形，可以将PA、PB、PC三边组成一个新三角形△PCD,已知PA、PB、PC的长可以求出∠APB、 ∠APC、∠BPC，因为初中没学余弦定理，所以涉及求角度时△PCD一般是直角三角形。 模型一：点P在△ABC的内部 模型二：点P在△ABC的外部 3、相关题型 1、如图3-6-8，在等边△ABC中，AB=6,D是BC的中点， 将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,那么线段DE的 长度为 ． 2、设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数？ 3、点O是△ABC内的一点，已知，求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角度数是多少？ 4、设P是等边△ABC内的一点，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的边长？ 如图3-6-10，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为　　． 6、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长？ 7、如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，证明：AM≤BM+CM. 8、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90o． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ ? ?（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） 图甲 图甲 图乙 图丙 以等腰三角形为背景的旋转 1、方法：一般将与等腰三角形共边的三角形顺时针或逆时针旋转与其顶角相等的度数。 2、结果：连接对应点出现新的等腰三角形。常会用到勾股定理。 相关题型： 1、在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是_____________。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随、、的变化而变化 2、如图，已知△ABC中，∠ACB=135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE． （1）求证：△ACD为等腰直角三角形； （2）若BC=1，AC=2，求四边形ACED的面积． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=cm，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．按要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到 △A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）. （1）填空