弧度制及其发展史.pdf

一、弧度制 人生就像一脚漂亮的远射，弧度越大，人生就越精彩。一提到弧度，大家一定会联想到 射门弧度，弯曲弧度等。但在数学中，弧度是一种度量单位，弧度的引入，给三角界带来了 巨大的变革，把原本难以画出的三角函数图象变成完美的波浪曲线。也是弧度的建立，给在 各个领域，特别是战争领域中的测距问题带来非常大的方便。让我们一起来领略一下弧度的 威力吧！ 一直以来，六十进制作为一种计数法，早已被十进制淘汰，但作为角度和时间的度量却 一直流传下来，这种制度是如此受欢迎，即使是在 “公制化的创始地”法国也无法被替代。 这倒是很有趣的现象。 到了近代，出现了另一种度量制度——弧度制，1 弧度就是圆上的弧长等于半径时所对 的圆心角。我们经常听说采用弧度制的原因是能够用较小的数字表示角。实际上并非如此， 采用弧度制的唯一原因是他能够简化许多公式，比如弧长公式将变成 l=α r，扇形面积公式 也将变得非常简单，弧度的应用去除了这些公式中 “多余”的因子 π/180. 另一个事实是，弧度的采用将使得这个事实成立：一个很小的角和他的正弦值在数值上 是近似相等的，也就是 sinx/x 在 x 趋于零时其极限值趋近于 1，这种近似若采用弧度制将 使得在 x 不是很小的时候就变得非常接近。因此使得弧度制在微积分学中变得非常重要。 ►数学史话 弧度制的历史简介 一、弧度制的发明——托勒密 克劳迪亚斯托勒密大约于公元 90 年出生在希腊。托勒密同斯特雷波一道为地理学和绘 制学的研究奠定了基础。托勒密在天文学、光学和音乐方面也颇有造诣。真正创立了天文学， 并且计算出诸多天体运行轨迹的是两千年前古罗马时代的托勒密。虽然今天我们可能会嘲笑 托勒密犯的简单的错误，但是真正了解托勒密贡献的人都会对他肃然起敬。托勒密发明了球 坐标，定义了包括赤道和零度经线在内的经纬线，他提出了黄道，还发明了弧度制。 当然，他最大也是最有争议的发明是地心说。虽然我们知道地球是围绕太阳运动的，但 是在当时，从人们的观测出发，很容易得到地球是宇宙中心的结论。从地球上看，行星的运 动轨迹是不规则的，托勒密的伟大之处是用四十个小圆套大圆的方法，精确地计算出了所有 行星运动的轨迹。（托勒密继承了毕达格拉斯的一些思想，他也认为圆是最完美的几何图形。） 托勒密模型的精度之高，让以后所有的科学家惊叹不已。即使今天，我们在计算机的帮助下， 也很难解出四十个套在一起的圆的方程。每每想到这里，我都由衷地佩服托勒密。一千五百 年来，人们根据他的计算决定农时。但是，经过了一千五百年，托勒密对太阳运动的累积误 差，还是差出了一星期。 二、弧度制思想的提出——欧拉 18 世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数的．瑞士数学家欧拉(Leonhardo Eulero，1707 年～1783 年)在他于 1748 年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中， 提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为 1，使得对三角函数的 研究大为简化．这是欧拉在数学史上的重要功绩之一． 其次，欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想．他认为，如果把半径作为 1 个单位长度，那么半圆的长就是 π ，所对圆心角的正弦是 0，即 sin ＝0．同理，圆的 的 长是 ，所对圆心角的正弦是 1，可记作 sin ＝1．这一思想将线段与弧的度量单位统一起来， 大大简化了某些三角公式及计算． 三、弧度制的正式提出——汤姆生 1873年6 月5 日，数学教师汤姆生(James Thomson)在北爱尔兰首府贝尔法斯特(Belfast) 女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了 “弧度”一词．当时，他将 “半径”(radius) 的前四个字母与 “角”(angle)的前两个字母合在一起，构成 radian，并被人们广泛接受和 引用．我国学者曾把 radian 译成 “弪’(由 “弧”与 “径”两字的一部分拼成)．中华人民 共和国成立以来，中学数学教科书中都把 radian 译作 “弧度”． 1881 年，学者哈尔斯特 (G．B．Halsted)等用希腊字母 ρ 表示弧度的单位，例如用 表 示 弧度．1907 年，学者包尔（G．N．Bauer)用 r 表示；1909 年，学者霍尔 (A．G．Hall) 等又用 R 来表示，例如将 弧度写成 ．现在人们习惯把弧度的单位省略． 四、弧度制的定义 等于半径长的圆弧所对的圆