第一节 大数定律.ppt

* 第一页，共十五页，2022年，8月28日 在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求, 但一经取极限由有限过渡到无限, 则问题反而好办. 例如, 若对某一x,要计算和 而一经取极限，则有 简单的结果 * 第二页，共十五页，2022年，8月28日 事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。 * 第三页，共十五页，2022年，8月28日 在概率论中，另一类重要的极限定理是所谓“大数定律”。 在第一章中我们已经讨论了“频率的稳定性”。 大量的重复试验中，事件A发生的频率接近某个常数，这个常数实际上就是事件发生的概率。“大数”的意思，就是指试验数目是大量的。 * 第四页，共十五页，2022年，8月28日 预备知识：切比雪夫不等式 或 §1 大数定律 * 第五页，共十五页，2022年，8月28日 几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤C，i=1,2, …， 则对任意的 有 或 称依概率收敛 * 第六页，共十五页，2022年，8月28日 证 两边夹,即得结论. * 第七页，共十五页，2022年，8月28日 解释: 取值接近于其数学期望的概率接近于1. 当n充分大时， 差不多不再是随机的了, * 第八页，共十五页，2022年，8月28日 定理2（伯努利大数定律） 或 下面给出的伯努利大数定律, 是定理1的一种特例. 设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 ,有 * 第九页，共十五页，2022年，8月28日 引入 i =1,2,…,n 则 而 由切比雪夫大数定律， * 第十页，共十五页，2022年，8月28日 是事件A发生的频率， 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 这就是频率稳定性的理论解释。 历史上，贝努利第一个研究了这种类型的极限定理，在1713年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现贝努利大数定律的时刻算起。 * 第十一页，共十五页，2022年，8月28日