高中数学换元法解题案例及练习题.doc

高中数学换元法解题案例及练习题 解数学题时～把某个式子看成一个整体～用一个变量去代替它～从而使问题得到简化～这叫换元法。换元的实质是转化～关键是构造元和设元～理论依据是等量代换～目的是变换研究对象～将问题移至新对象的知识背景中去研究～从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化～变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量～可以把分散的条件联系起来～隐含的条件显露出来～或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式～把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式～在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元～是在已知或者未知中～某个代数式几次出现～而用一个字母来代替它从而简化问题～当然有时候要通过变形才能发现。例如 xxx解不等式:4，2,2?0～先变形为设2,t,t0,～而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元～应用于去根号～或者变换为三角形式易求时～主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y,x ,2，的值域时～易发现x?[0,1]～设x,sinα ～α?[0,]～问1,x2题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设～其中主要应 2该是发现值域的联系～又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x， 22y,r,r0,时～则可作三角代换x,rcosθ、y,rsinθ化为三角问 题。 SS均值换元～如遇到x，y,S形式时～设x,，t～y,,t等等。 22 我们使用换元法时～要遵循有利于运算、有利于标准化的原则～ 换元后要注重新变量范围的选取～一定要使新变量范围对应于原变量 ,的取值范围～不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α?[0,]。 2?、再现性题组: 1.y,sinx〃cosx，sinx+cosx的最大值是_________。 242.设f(x，1),log(4,x) ,a1,～则f(x)的值域是a _______________。 3.已知数列{a}中～a,,1～a〃a,a,a～则数列通项a,nn，1nn，1nn1 ___________。 24.设实数x、y满足x，2xy,1,0～则x，y的取值范围是___________。 ,x13，5.方程,3的解是_______________。 x13， xx，16.不等式log(2,1) 〃log(2,2)〈2的解集是22 _______________。 2t1【简解】1小题:设sinx+cosx,t?[,,]～则y,，t,～2222 1对称轴t,,1～当t,～y,，, 22max2 222小题:设x，1,t (t?1)～则f(t),log[-(t-1)，4]～所以a 值域为(,?,log4], a 1113小题:已知变形为,,,1,设b,～则b,,1,b,,1nn1aaan，1nn 1，(n,1)(-1),,n～所以a,,, nn 224小题:设x，y,k～则x,2kx，1,0, ?,4k,4?0,所以k?1 1, 或k?, 1x25小题:设3,y～则3y，2y,1,0,解得y,～所以x,,1, 3 x6小题:设log(2,1),y～则y(y，1)2～解得,2y1～所以x2 5?(log,log3)。 224 ?、示范性题组: 222例1. 实数x、y满足4x,5xy，4y,5 , ?式, ～设S,x， 112y～求，的值。,93年全国高中数学联赛题, SSminmax 2222【分析】 由S,x，y联想到cosα，sinα,1,于是进行三角换,xS,cosα,元～设代入?式求S和S的值。 ,minmax,yS,sinα, ,xS,cosα,【解】设代入?式得: 4S,5S〃sinαcosα,5 ,,yS,sinα, 10解得 S, , 852,sinα 1010? -1?sin2α?1 ? 3?8,5sin2α?13 ? ??13,85,sin 10 3 ，,，,, SS1010105maxmin 810S,此种解法后面求S最大值和最小值～还可由sin2α,的有界S 810S,性而求～即解不等式:||?1。这种方法是求函数值域时经常用S 到的“有界法”。 SSSS2222【另解】 由S,x，y～设x,，t～y,,t～t?[,～]～ 2222 22SS22,,则xy,〒代入?式得:4S〒5=5～ tt44 22移项平方整理得 100t+39S,160S，100,0 。 10102? 39S,160S，100?0 解得:?S? 133 ，,，,, SS1010105maxmin 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”～