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白 鹏 PAGE 85 应用时间序列分析 (讲稿) 白 鹏 时间序列 §1.1 时间序列的分解 A.时间序列 所谓(随机)时间序列, 简单地说, 就是按某种次序排列的一族随机变量: (1.1) 例如, 以表示某股票在第个交易日的最高价, 则得时间序列: (1.2) 当获得了时间序列中每一随机变量的观测值后, 就得到了该序列的”一次实现”或”一条轨道”: (1.3) 时间序列分析的主要任务就是, 依据观测数据的特点, 为之建立尽可能合理的统计模型, 然后利用模型的统计特性, 去揭示数据的统计规律, 以达到控制或预测的目的. B. 时间序列的分解 在经验上, 可以将时间序列分解为 (1.4) 其中和分别表示趋势项, 季节项和随机项. C. 时间序列和随机过程 定义1.1 设为一指标集, 若对每一, 均有一随机变量与之对应, 则称随机变量的集合: (1.5) 为随机过程. 当随机过程中表示时间指标集时, 称为时间序列. 对连续时间序列离散采样以得到. §1.2 平稳序列 A.时间序列的自协方差和自相关函数 定义2.1 设为一复值随机变量(即和为实值随机变量), 若和的均值和都存在, 则定义的均值为 (2.1) 定义的方差为 (2.2) 对于复值随机变量和, 定义与的协方差为(若存在的话) (2.3) 易知 性质2.1 设和为复值随机变量, 则 . 定义2.2 设为复值时间序列(即为复值随机变量, ), 若的均值 (2.4) 在上存在, 则称为的均值函数. 若与的协方差 (2.5) 在上存在, 则称二元函数为的自协方差函数. 若与的相关系数 (2.6) 在上存在, 则称二元函数为的自相关函数. B.平稳序列及其自协方差和自相关函数 定义2.3 设为复值时间序列, 若 (1) 是常数, , (2) 只与有关, , 则称是(二阶)平稳的. 平稳序列的轨道是由在某一水平线附近等幅波动的点构成的. 若平稳, 则 这说明了, 平稳序列的一和二阶矩对指标的”平移变换”具有不变性. 当平稳时, 可分别简记其自协方差和自相关函数为 (2.7) 有 (2.8) 显有 定理2.1 设为复值时间序列, 则平稳 (1) 是常数, , (2) 只与有关, . 性质2.2 设是平稳复值时间序列, 则 (1) (2) 序列非负定. (3) 证明: (1)由的意义(见(2.7))和性质2.1知 (2)需证: 对任意正整数及, 阶自协方差阵是非负定阵. 为此, 任取复数, 记, 有 故是非负定阵. (3)由Cauchy-Schwarz不等式. ? 推论2.1 设是平稳实值时间序列, 则 (1) 是偶函数, (2) 序列非负定. 例2.1(调和平稳序列) 设和为实常数, 在上均匀分布, 令 (2.9) 其中表示整数集. 由于 故由定理2.1知, 平稳.? 图2.1 的一次实现 C.白噪声序列 定义2.4 设为一复值时间序列, 若 (1) 是常数, , (2) , 其中表示Kronecker符号, 即 (2.10) 则称为白噪声序列, 记为. 若, 则称为标准白噪声序列. 由此定义可知, 白噪声序列是由两两不相关的, 具有相同均值和方差的随机变量构成的平稳序列. 白噪声序列在时间序列分析中起着”构件”的作用. 例2.2 设和为实常数, 独立同分布, 在上均匀分布, 令 (2.11) 则独立, 且 故是独立的? 图2.2 的一次实现 D.序列的正交与不相关 定义2.5 对于序列和, (1) 若与正交(即), , 则称和正交. (2) 若与不相关, , 则称和不相关. 易知, 当和中之一为零均值序列时, 和正交和不相关. 显有 定理2.2 设序列和平稳, 和为复常数, 令 则 (1) 当和正交时, 平稳, 且 其中和分别表示和的均值, 和分别表示, 和的自协方差函数. (2) 当和不相关时, 平稳, 且 §1.3 线性平稳序列和线性滤波 A.有限移动平均 定义3.1 设, 为复常数, , 令 (3.1) 称为的有限移动或滑动平均. 下面考虑的平稳性. 由于 (3.2) (3.3) 因此, 平稳, 且其自协方差函数为