数列不等式证明的几种方法.docx

数列不等式证明的几种方法一、巧妙构造，利用数列的单调性 例 1. 对任意自然数 n，求证： 。 证明：构造数列 。 所以 ，即 为单调递增数列。 所以 ，即 。 点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题， 均可构造数列，通过数列的单调性解决。 二、放缩自然，顺理成章 例 2. 已知函数 下方式取定：曲线两点的直线平行。 求证：当 时： ，数列 的首项 ，以后每项按如处的切线与经过（0，0）和 （1） ； l m-l1 h-2 (－) 5 x n S (－） （2） 2 2 。 证明：（1）因为f（ 区）＝3沪 ＋ 2只 ，所以曲线 y= f (x ) 在（比缸1, f(Xri.+L)) 处的切线斜率 为k = 3又趴＋12 + 2x汜 1 。 2王L又因为过点（0，0）和(xn1f(xn)) 两点的斜率为k＝泾n ＋ 2 王L ，所以结论成立。 h(x) ＝ 叉2 ＋汇当 X D时单调递增则有又 2 +x n = 3x 2 （2）因为函数 n. 卫＋l .., + 2Xi+t l 三 4 又呾 / + 2又n+ l = ( 2x 阳］）2 + ( 2凶＋1 ) ， l-2－＿沁}所以x.n..:-:;2 l-2 － ＿沁 } 妇乓 xlL...._ _,. 1 坟 一 1 乌 ＝ 芷 ＇一 ·— ■ — 兰（一） 话l X2 n-1 ] ； 又因为心＋乌＝3卫n+l 2 + 2:R:n+l ?_ 2 Kn+2l = 2Rn+l = 2（又沁l 2 ＋又m l ) 。 l r:,11y 礼＝岛＋乌，则  ::n+L y s;_1  Y1 = 2 令 t1. 2 ，且 。 Yn= y ,＿灼 ，一店 凡 1 n-2 n ■ — — ((.）:. 所以 店 贮 Yn-1 2 3 1 n-2 因此， 苤五 5 砬 ＋ 沁竺（－） 2 (』 ）:n-1 竺x l\ 竺（乌n- 2 所以 2 2 三、导数引入 1 1 1 1 1 1 1 1. 2— 2 例 3. 求证： +·—3 +·4—+· .·-+· n— (·1-n- :-n- ·1- +· 2—+·3—+· 4— +· ?·-+·n-+. 11E N 1 1 丑＝n—+ ？1 丸＝－ 证明：令 ·.LL n，且当n2.2 时， Sn-I= 1n n岛 ＝区l (n + l)，所以 en ＝ 沁－S n + 1 让一1 =ln(n+ 1)-lfln=ln 1 n + 1 1 ( ln - ( — 仁 今 n + 1 n n n 。要证明原不等式，只须证 ——l x+ l l — — ln C 1 尽 X+1 X X 。 （f 又）＝ 加 设  万＋ 1 1 － X X + 1， f1( f1(xx) =—-－+ = c:D 所以 x+l x· ( x + l)2 去位 ＋ 1)2 。 盯l — = t - 盯l — = t - 1 令 x x ， —t- —l 所以 t 1nt t - 1(t 1) 。 h1( t) =气h(t)= In t－二t-1，. ·-- t-1 0 h1( t) = 气 - 设 t t ， 所以h(t)在(11 +00)上为增函数所以h( t) 习 h(1)= 0 ，即 h(t)= 1n t - t- 1 — 汀 t t- 1 所 以怕 t —— t x+ 1 1 加 所以 X X + 1 同理可证 ln t t - 1即 m X + 1 1 —X X — 1 x+l 1...... 1 n+l 1 — d ]n — (－，即 — e:.ln — － 所以 x+1 x x n+1 n n 。对上式中的 n 分别取 1，2，3，…， n-1 I I I 1 1 1 1 1 —+—+—+..-十 — ＜加 n 1 +—+—+—+. + ，得 2 3 4 n 2 3 4 n+l 。 四、裂项求和 34 1 l:\+l J 3 例 4. 设沁是数列(a n) 的前 n 项和，且 沁＝了 8. n -3 义 2 + —( n = l, 2,3,.. ．） 求数列｛礼）的首项a l ，及通项an ； 设 2五 互＝—（ n t 2, 3, I I ■ ) 已  _3 _3 2 r .3 T 卫二1 解：（1）首项斗＝ 2, = 4n - 2n(n = 1,2,3, · ..) （过程略）。 （2）证明：将 礼 ＝ 4 ri -沪代入旯＝4 1 X 2mI 十： －科－ － －科－ － s =－4,. fl. h )－ l 2h+1 + —2 =－2（2` +-1 - l（) 2 - l