数列的概念与简单表示法.docx

第六章 数 列 §6.1 数列的概念与简单表示法 考点梳理 数列的概念 定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做 )，排在 第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．所以，数列的一般形式可以写成 ，其中 n 是数列的第 n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a }． n 通项公式：如果数列{a n }的 与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那 么这个公式叫做这个数列的通项公式． 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列 ． 数列的递推公式：如果已知数列的第 1 项(或前几项 )，且从第二项 (或某一项 )开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 数列的表示方法有 、 、 、 . 数列的分类 数列按项数是有限还是无限来分，分为 、 . n按项的增减规律分为 、 、 和 ． 递增数列?a n ＋ a ；递减数列?a a ；常数列?a a .递增数列与递减数列统称为 ． n n＋1 n n＋1 n 数列前 n 项和 S n 与 a 的关系 n 已知 S ，则 a ??（n＝1） ， ＝? n n 自查自纠： ??（n≥2） . 1．(1)项 首项 a ，a ，a ，…，a ，… 1 2 3 n (2)第 n 项 n (3)函数值 (4)a n a n－1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S S －S 1 n n－1 典型例题讲练 类型一 数列的通项公式 例题 1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； 2 4 6 8 10 (2)3，15，35，63，99，…； 1 9 25 (3)2，2，2，8， 2 ，…； (4)5，55，555，5 555，…. 解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…， 每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a ＝ 2n . n （2n－1）（2n＋1） 2 2 2 2数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即1，4，9，16， 2 2 2 2 ＝.25，…，故数列的一个通项公式为 a n2 ＝ . n 2 9×5 5(4)将原数列改写为5 9， ×99， ×999，…，易知数列 9，99，999，…的通项为 10n－1，故数列9 9 9× 5 5 的一个通项公式为 a ＝5 n－1)． n 9(10 变式 1 写出下列数列的一个通项公式： (1)－1 1 1 1 1 ，2，－3，4，－5，…； (2)3，5，9，17，33，…； 2 10 17 26 (3)3，－1， 7 ，－ 9 ，11，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，…. 1解：(1)a ＝(－1)n· ； 1 n n (2)a ＝2n＋1； n 5(3)由于－1＝－5，故分母为 3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子为 2，5，10，17，26，…，即{n2 5 ＋1}．符号看作各项依次乘 1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故 a n2＋1 ＝(－1)n＋1· . n ??n＋1 2n＋1 观察数列{a }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a ＝? 2 （n为奇数）， nn n ?? n 类型二 由前 n 项和公式求通项公式 22（n为偶数）. 例题 2 (1)若数列{a }的前 n 项和 S ＝n2－10n，则此数列的通项公式为 a ＝ ． (2)若数列{a n }的前 n 项和 S n n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为 a ＝ ． n n n 解：(1)当 n＝1 时，a ＝S ＝1－10＝－9； 1 1 当 n≥2 时， n n n 1a ＝S －S － ＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11 n n n 1 当 n＝1 时，2×1－11＝－9＝a .∴a ＝2n－11. 1 n 故填 2n－11.