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【下载后获高清版】 初中八年级数学下必考点-平行四边形几何模型详解 一、基础知识 条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构．可以通过补全图形，从而构造熟悉的结构： 三角形的三线：底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线. 二、方法技能 1．几何计算、证明的基本思考流程 ①标注条件，合理转化； ②组合特征，分析结构； ③由因导果，执果索因． 2．特殊四边形中隐含条件 ①平行四边形中隐含条件：平行、中点； ②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； ③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直； ④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直． 3．四边形中常见几何结构举例 ①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点； ②旋转结构：等线段共点，对角互补； ③弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂； ④面积结构：三个“一半”，平行转化． 三、典例精讲 1．如图，在平行四边形ABCD?中，BC= 2AB?，CE⊥AB?于点E，F为AD的中点，若∠AEF?= 54°，则∠B?=?． 【分析】（体会条件组合与搭配） 方法一： ①AB∥CD?，F为AD?的中点；→平行夹中点→延长证全等； ② ∠GCE?= ∠CEB=?90° ，F为AD的中点；→直角+中点→直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ∴易证△AFE≌△DFG?(SAS) ， ∴EF=FG ∵∠GCE=∠CEB?= 90°， ∴EF=GF=CF ∵BC=2AB?， ∴FD=CD ∵∠AEF=54° ， ∴∠FEC=∠FCE?= 36° ，∠CFD=∠FCD=∠G=54° ∴∠B=∠CDF=180°-108°=72° 方法二： F为AD的中点，取CE中点造梯形AECD?的中位线（构成△CEF?两线合一） ∵∠AEF=54° ， ∴∠FEC=∠FCE=36°，∠CFD=∠FCD=54° ∴∠B=∠CDF=180°-108°=72° 方法三： ∵CE⊥?AB?于点E?， ∴取BC中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 又∵BC=2AB?， ∴BG=EG=CG=CD=FD=AF?， ∴AB∥FG∥CD?， ∴∠GEF=∠GFE=∠AEF=54°，∠B=∠GEB=72° 2．如图，在菱形ABCD中，∠A?=110° ，E?、F分别是边AB?、BC的中点，若EP⊥CD于点P?，则∠FPC=?． 【分析】 四边形ABCD是菱形，F分别是边BC的中点，构成平行夹中点→延长证 △BEF≌△CGF(SAS) ∴EF=FG=FP?，AE=BE=BF=FG（菱形的四边相等） ∴∠B=70°,∠BFE=∠BEF=∠G=∠FPC=55° 3．如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E，F分别在边AB，AD上，且AE=DF连接BF,与DE相交于点G，连接CG,与BD相交于点H?．则下列结论： ①△AED≌△DFB；②∠BGD=120° 其中正确的是?．（填序号） 【分析】 ①△AED≌△DFB（SAS）， ∴①正确 ②由△AED≌△DFB?得∠1 = ∠2 ， ∴∠BGE=∠1+∠3=∠2+ ∠3 = 60°，∠BGD?=120° ∴②正确 ③∵∠BGD+∠BCD=120°+ 60° =180° （对角互补）,CD?=CB（等线段共点C） ∴可以考虑将△CDG绕点C逆时针旋转60°到△CBM?，也可将△CBG绕点C?顺时针旋转60° 注意：辅助线的叙述与三点共线 叙述一：将△CDG旋转到△CBM?，必须根据对角互补说明G、B、M三点在一条直线上； 叙述二：延长GB至M?，使BM=DG（保证了G、B?、M?三点在一条直线上)，连接CM，此法只需要证明△CBM≌△CDG(SAS) ，从而证得△CGM是等边三角形. ∴ ∴③正确 4.（2019）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为BC的中点，点P是射线AD?(与A重合)上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，AP的长为?. 【分析】 ∵点P是射线AD上的一点，且不与A重合， ∴∠BCP=90° ∵∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为BC的中点， ∴ 四、典型练习 【思路分析】 本题给出F为AD的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全等转移边、转移角． 综上，其中一定正确的是①②④． 【思路分析】 本题给出AB=OB?，点E是OA的中点（等腰+中点构三线合一） ∴连接BE得BE⊥?AC 3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC?，点E在BC边上，AE=BE?，F是CD边的中点，且AF⊥AB?．若AD=2.7 ，AF=4，AB=6，则CE的长为?． 【思路分析】 本题给出AD∥BC，F是CD边的中点，这是很典型的“平行夹中点” ∴延长AF，BC交于点G ，易证△ADF