第二章机构运动学仿真的理论.ppt

School of Mechanical Engineering and Automation Fuzhou University 第一页，共二十六页，2022年，8月28日 2.1 矢量环与矢量链方程 1.平面矢量 矢量——具有大小和方向的物理量。 位移矢量表示了空间任意两点之间的有向距离。 机构分析认为：机构中每一根连杆都可以表示为一个位移矢量，矢量的起点就是连杆的某一端点，而其另一端点就是矢量的终点。这个位移矢量的大小就是连杆的长度，矢量与x轴正向间的夹角就是连杆的夹角(逆时针为正)，如图2-1所示。 矢量是用大写黑体字母 R 来表示；矢量长度用小写字母 r 来表示，且不是黑体字。 给定坐标系，则矢量R的x分量与y分量将可以用矢量的长度 r 和它与x轴正向间的夹角来表示，即 在复数坐标系中，复向量的表示为 为幅角，在机构中为变量。 为模，在机构中为常量； 第二页，共二十六页，2022年，8月28日 2、单个闭环方程 2.1 矢量环与矢量链方程 同一坐标系位移矢量的编号顺序应遵循约定。即，任意一组位移矢量，应当构成一个易于正确表达和便于推导的闭环矢量方程。 用位移矢量取代了连杆。 根据矢量加法，矢量R2和R3应当首尾相连，矢量R1和R4也如此。注意到矢量R3和R4的矢端都在机构的同一点B，这表明矢量(R2 ，R3)和(R1，R4)各自相加的结果相等，其数学表达式为： 无论机构运动到何种状态，只要能够保证机构的几何装配条件．则这个闭环矢量方程就一定能够成立。 (2—1) 第三页，共二十六页，2022年，8月28日 运动学分析大部分内容涉及的是机构的速度与加速度计算，因此必然就会遇到对矢量方程(2-1)求时间导数。 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 各个矢量随时间而变化。因为，即使各个连杆的长度保持不变，但它们各自的方位(矢量的指向)却是随机构运动而改变的。对于其他一些机构，可能位移矢量的大小和方向均会改变。 矢量方程对时间求导数的简单方法是将闭环矢量方程分解成为沿x方向和y方向的两个标量表达式。 根据矢量角度的定义，标有各矢量夹角的闭环矢量方程几何表达式如图2-4所示。必须注意，若由x正向旋转到矢量的矢端为逆时针转动，则该矢量的角度为正。此外还需注意，矢量角度的表示应与连杆夹角的表示相一致。 第四页，共二十六页，2022年，8月28日 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 r1-r4代表了各个连杆的长度（保持不变）。机构四个连杆夹角当中的任一个均可视为恒定并可假定为零，因为坐标系的定位是任意假定的。基于这一点，为了简化问题，取x坐标轴与某一矢量相重合。 依据上述约定和假设，可得到闭环矢量方程的两个分量表达式，即 (2—3) (2—2) 方程(2-2)和(2-3)对时间求一阶导数后得 (2—5) (2—4) 第五页，共二十六页，2022年，8月28日 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 在分析中，通常假定某一连杆以匀角速度转动。如ω2保持常量。 ω2就称之为机构的输入。方程(2-4)和(2-5)可重新写成 (2—7) (2—6) 写成以下矩阵形式 闭环矢量方程的二阶导数也是十分有用，只需记住速度方程中的各项是两个时间变量（ω和cos(θ）)的乘积以及求导规则。 (2—8) 第六页，共二十六页，2022年，8月28日 3、矢量方程的求导 2.1 矢量环与矢量链方程 方程组的矩阵形式为 (2—9) (2—10) 假定连杆2的输入角速度ω2和角加速度a2均为已知 (2—11) 第七页，共二十六页，2022年，8月28日 例2—1 2.1 矢量环与矢量链方程 (2—8) 利用方程(2-8)求解四连杆机构在图2—5所示位置时连杆3、4的角速度。各连杆长度及在图示位置的转角见表2—1。设输入连杆2的角速度为100 rad／s。 注意，由于坐标系的放置以及坐标原点的定位是任意的，因而闭环矢量方程的表达并不是唯一的。 第八页，共二十六页，2022年，8月28日 使用MATLAB编制的程序如下 例2—1 2.1 矢量环与矢量链方程 MAILAB提示： 在MATLAB程序设计中，三角函数是用弧度来表示的。由于我们通常习惯于使用度为单位，因此就需要角度与弧度单位之间的转换。MATLAB通过设定一个恒定的、带有普遍意义的参数Pi(其值等于π)即可容易地实现这种变换，并且可使程序的计算精度达到最大。 第九页，共二十六页，2022年，8月28日 2.1 矢量环与矢量链方程 4、其他常见的机构 第十页，共二十六页，2022年，8月28日 5.1 两连杆平面机器人 2.1 矢量环与矢量链方程 5、矢量链 有时，准确地确定机构上除铰支