整除和余数（六）.pdf

人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗 整除和余数（六） 我们接着讲余数。 上一期的题目答案是 19. 我看很多朋友留言都做对了，非常棒。（六条留言四位做出） 沿着之前的思路，300-262=38,262-205=57,38 和 57 的公约数 为 1,19 ，但是题目要求大于1 ，所以只能是19. 其实我国古代对余数的研究达到了很高的水平，著名的孙子定理 就是其中一个例子。 因为历史的原因，以我国人名命名的数学定理少之又少。而孙子 定理算半个——因为西方更喜欢把这个定理叫中国古代剩余定理。 定理的内容是这样的： 三人同行七十稀， 五树梅花廿一支， 七子团圆正半月， 除百零五使得知。 诶，我们就是写个数学定理都那么诗情画意。。。 那怎么翻译成数学的语言呢？ 三人同行七十稀， 把除以 3 所得的余数用 70 乘； 五树梅花廿一支， 把除以 5 所得的余数用 21 乘； 七子团圆正半月， 把除以 7 所得的余数用 15 乘； 除百零五使得知， 把上述三个积加起来 ，减去 105 的倍数，所得 的差即为所求。 和定理想配套的，是这样一个题：今有物不知其数，三三数之剩 二 ，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 就是说现在让你求个数，除以 3 余 2 ，除以5 余 3 ，除以7 余 2. 我们只要稍微凑一下就知道答案是 23. 那如果让你求个数，除以 311 余 127 ，除以 589 余 277 ，除以 3007 余 1829 ，这个数是多少？ 打人犯法 ，把你拳头收起来。。。 穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》 穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》 所以我们要有一个通用的解法，这个解法当然存在，但是对小学 生来说过于难了，这里就不多说了。还是回到我们能接受的范围内吧！ 例：123123123 （123 组 123 ）除以99 的余数是多少？ 这也是一类很常见的竞赛题。 这么大一个数，列竖式都没法列啊！ 所以我们还是要想，怎么处理这个问题呢？被 9 整除的数的特点 很好找各位数字之和等于 9 的倍数即可，但是除以 11 怎么办？ 我们想到了 1001 ！ 没错，看见除以 7,11,13 ，往1001 上想，一般来说是不会错的。 123123 必然能被 11 整除，而 123123123 必然被 9 整除，所以 6 个 123 就能被 99 整除，于是 123 个我们拿掉 120 个，只要计算 123123123 除以 99 的余数就可以了。 动笔一算，等于 90 ，题目就做完了。 为什么数学越来越难学？因为到后面你可用的东西太多了。选择 趁手的工具也是非常有技巧的事情。上一节里我们能用的工具只有余 数的定义 ，现在就要把整除都结合起来，瞬间难度就上来了。 庖丁解牛的故事家长朋友都听说过，一个数学学的不错的学生， 一定具备把题目分解成若干个简单知识点的能力。 例：请找出所有的三位数，使它除以 7,11,13 的余数之和尽可能大。 看见题目，立马想到多少？ 1001 ！ 很好很好！在给孩子训练的时候也要注意这样的养成。怎么余数 才最大呢？除以 7