立体几何初步讲义 .pdf

。 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 知 识 梳 理 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系  平行 共面直线相交  异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 a b O a a b b a b ①定义：设 ， 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ′∥ ， ′∥ ，把 ′与 ′所成的锐角(或直角) a b 叫做异面直线 与 所成的角(或夹角)． π   ②范围： 0， .   2 (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 辨 析 感 悟 1．对平面基本性质的认识 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×) A A A (2)两个平面α，β 有一个公共点 ，就说α，β 相交于 点，记作α∩β＝ .(×) (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√) (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×) 2．对空间直线关系的认识 a b c a c b (5)已知 ， 是异面直线、直线 平行于直线 ，那么 与 不可能是平行直线．(√) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×) [感悟·提升] -可编辑修改- 。 1．一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如 “有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1) 中两个不重合的平面还可把空间分成三部分． 2．两个防范 一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是 搞清 “三个公共点”是共线还是不共线，如(4)． 3．一个理解 异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直 线就是异面直线，如(6). 考点一 平面的基本性质及其应用 【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )． ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； A B C D A B C E A B C D E ②若点 ， ， ， 共面，点 ， ， ， 共面，则 ， ， ， ， 共面； a b a c b c ③若直线 ， 共面，直线 ， 共面，则直线 ， 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 ．B1 ．2C ．3D ABCDABCD PQR ABADBC PQR (2)在正方体 － 中，，，分别是 ， ， 的中点，那么正方体的过 ，，的截面图形是( )．A．三 1 1 1 1 1 1 角形 ．四边形B ．五边形C ．六边形D 规律方法 (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或