2023年全国中学生物理竞赛决赛试题版 .pdf

全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大） 1、（35 分） 如图，半径为 R、质量为M 的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r 的匀质小 球。某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。在运动过 程中，小球相对半球的位置由角位置描述，为两球心连线与竖直 2 线的夹角。己知小球绕其对称轴的转动惯量为 mr2 ，小球与半球 5 间的动摩擦因数为，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加 速度大小为 g。 （1）（15 分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为 时，半球运动 1 的速度大小V () 和加速度大小a () ； M 1 M 1   V ( ) （2）（15 分）当小球纯滚动到角位置 时开始相对于半球滑动，求 所满足的方程 （用半球速度大小 2 2 M 2 和加速度大小a ( ) 以及题给条件表达）； M 2  v ( ) （3）（5 分）当小球刚好运动到角位置 时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小 3 m 3 2、（35 分） 平行板电容器极板 1 和 2 的面积均为 S，水平固定放置，它们之间的距离为 d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为 U。不带电的导体薄平板 3 （厚 度忽略不计）的质量为m、尺寸与电容器极板相同。平板 3 平放在极板 2 的 正上方，且与极板 2 有良好的电接触。整个系统置于真空室内，真空的介电 常量为 。合电键 K 后，平板 3 与极板 1 和 2 相继碰撞，上下往复运动。假设导体板间的电场均可视为匀 0 强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板 3 与极板 1 或 2 碰撞后立即在极短时 间内达成静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。重力加速度大小为 g。 （1）（17 分）电源电动势 U 至少为多大？ （2）（18 分）求平板 3 运动的周期 （用U 和题给条件表达）。 已知积分公式  dx 1  2   ln 2ax b 2 a ax bx C ，其中a0，C为积分常数。 ax2 bx a 3、（35 分） 如图，质量线密度为、不可伸长的软细绳跨过一盘状定滑轮，定滑轮半径为 R，轴离地 面高度为 L，系统原处在静止状态。在 t=0 时，滑轮开始以恒定角速度逆时针转动，绳 子在滑轮带动下开始运动，绳子与滑轮间的动摩擦因数为。滑轮两侧的绳子在运动过 程中始终可视为沿竖直方向，绳的两端在运动过程中均没有离开地面，地面上的绳了可 视为集中在一点。已知重力加速度大小为 g。绳子在与滑轮左、右侧相切处的张力分别 记为 T 、T （均非己知量）。 1 2 （1）（20 分）分别列出在绳子速度达成最大值之前，滑轮两侧绳子的竖直部分及滑轮上任意一小段绳子的 运动所满足的动力学方程： （2）（15 分）求绳子可达成的最大速度的大小。 4、（35 分） 如图，一张紧的弦沿 x 轴水平放置，长度为 L。弦的左端位于坐标原点。 弦可通过其左、右端与振源连接，使弦产生沿 y 方向的横向受迫振动， 振动传播的速度为u。 （1）（22 分）固定