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矩形(基础)知识讲解 PAGE 1 矩形〔根底〕 责编：杜少波 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 【高清课堂 特殊的平行四边形〔矩形〕 知识要点】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴. 要点诠释：〔1〕矩形是特殊的平行四边形,因而也是中央对称图形.过中央的任意直线可将矩形分成完全全等的两局部. 〔2〕矩形也是轴对称图形,有两条对称轴〔分别通过对边中点的直线〕.对称轴的交点就是对角线的交点〔即对称中央〕. 〔3〕矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看,矩形对边平行且相等；从角看,矩形四个角都是直角；从对角线看,矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下,加上“一个角是直角〞或“对角线相等〞都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：〔1〕直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形,对一般三角形不可使用. 〔2〕学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. 〔3〕性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的性质 矩形(基础)知识讲解全文共6页，当前为第1页。1、〔2021?云南〕如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN． 矩形(基础)知识讲解全文共6页，当前为第1页。 〔1〕求证：∠PNM=2∠CBN； 〔2〕求线段AP的长． 【思路点拨】〔1〕由MN∥BC,易得∠CBN=∠MNB,由∠PNB=3∠CBN,根据角的和差不难得出结论； 〔2〕连接AN,根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN,由〔1〕知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN,由AD∥MN,可知∠PAN=∠ANM,所以∠PAN=∠PNA,根据等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理列方程求出AP． 【答案与解析】 解：〔1〕∵四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点, ∴MN∥BC, ∴∠CBN=∠MNB, ∵∠PNB=3∠CBN, ∴∠PNM=2∠CBN； 〔2〕连接AN, 根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN, ∵MN∥AD, ∴∠PAN=∠ANM, 由〔1〕知∠PNM=2∠CBN, ∴∠PAN=∠PNA, ∴AP=PN, ∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点, ∴DN=2, 设AP=x,那么PD=6﹣x, 在Rt△PDN中 PD2+DN2=PN2, ∴〔6﹣x〕2+22=x2, 解得：x= 所以AP=． 矩形(基础)知识讲解全文共6页，当前为第2页。【总结升华】此题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用,难度不大,根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA,发现AP=PN是解决问题的关键． 矩形(基础)知识讲解全文共6页，当前为第2页。 举一反三： 【高清课堂 特殊的平行四边形〔矩形〕 例7】 【变式】如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,BC＝4,点P为AB边上任一点,过P分别作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,那么线段EF的最小值是　_________　． 【答案】； 提示：由于ECFP为矩形,所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高. 类型二、矩形的判定 2、：平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,连接AF、CE. 〔1〕求证：△BEC≌△DFA； 〔2〕连接AC,假设CA＝CB,判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证实你的结论. 【答案与解析】 证实：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB＝CD,∠B＝∠D,BC＝AD. ∵E、F分别是AB、CD的中点, ∴BE＝AB,DF＝CD. ∴BE＝DF. ∴△BEC≌△DFA. 〔2〕四边形AECF是矩形. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,且AB＝CD. ∵E、F分别是AB、CD的中点, ∴BE＝AB,DF＝CD. ∴AE∥CF且