全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题及详解2.pdf

全国统考教师资格考试 《数学学科知识与教学能力》 （初级中学）真题及详解 2 一、单项选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 与向量a＝ （2，3，1）垂直的平面是 （ ）。 A． x－2y＋z＝3 B． 2x＋y＋3z＝3 C． 2x＋3y＋z＝3 D． x－y＋z＝3 【答案】 C 【解析】 本题考查空间解析几何中平面的法向量的相关知识。平面的法向量是垂直于平面 的非零向量。在直角坐标系中，平面Ax＋By＋Cz＝0 （A，B，C不同时为零）的 一个法向量为n＝ （A，B，C）。本题中，向量a＝ （2，3，1）为平面2x＋3y＋ z＝3的法向量，故垂直于平面2x＋3y＋z＝3。故本题选C。 2. 的值是 （ ）。 A． 0 B． 1 C． 3 D． ∞ 【答案】 C 【解析】 本题考查函数极限的四则运算以及等价无穷小量替换。 （方法一）当x→0 时，tan3x～3x。所以 （方法二） 故本题选C。 3. 函数f （x）在[a，b]上黎曼可积的必要条件是f （x）在[a，b]上 （ ）。 A． 可微 B． 连续 C． 不连续点个数有限 D． 有界 【答案】 D 【解析】 本题考查黎曼可积的条件。 若函数f （x）在[a，b]上 （黎曼）可积，则f （x）在[a，b]上必有界 （可积的 必要条件），故本题选D。 下面说明其他三个选项。可积的充分条件有以下3个：①函数在闭区间上连续； ②函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；③函数在闭区间上单调。由此可排 除B项和C项。又因为在一元函数中，可微一定连续，且连续一定可积，但反之 不成立，故排除A项。 一元函数在闭区间上连续、可导、可微可积、有界的关系图如下： 4. 定积分 的值是 （ ）。 A． πab B． C． D． 【答案】 B 【解析】 本题考查定积分的几何意义或定积分的计算。 （方法一）定积分 表示被积函数 与x轴 所围成图形的面积，即椭圆 在x 轴上方部分的面积。而椭圆 的面积为πab。所以 （方法二）本题也可用第二换元积分法计算。令x ＝asint，由于－a≤x≤a，所以 ，且dx＝acostdt，所以 故本题 选B。 5. 与向量α＝ （1，0，1），β＝ （1，1，0）线性相关的向量是 （ ）。 A． （3，2，1） B． （1，2，1） C． （1，2，0） D． （3，2，2） 【答案】 A 【解析】 （方法一）一个向量组中，若一个向量可由其余向量线性表出，则这几个向量必 线性相关；若任意一个向量都不能被其余向量线性表出，则这几个向量必线性无 关。结合选项可知，只有选项A可以由向量α和向β线性表出，即 （3，2，1） ＝α＋2β。故本题选A。 （方法二）向量组α，β，γ线性相关⇔矩阵 的秩小于向量 的个数⇔ |A|＝0；向量组α，β，γ线性无关⇔矩阵 满秩⇔ |A| ≠0。结合选项知， 进而可 知，选项A 中的向量与向量α和向量β线性相关，BCD三项中的向量均与向量α 和向量β线性无关。故本题选A。 6. 设f （x）＝acosx＋bsinx是R到R 的函数，