初中数学竞赛教程及练习之一元二次方程的根附答案（可编辑）.doc

初中数学竞赛教程及练习之 一元二次方程的根附答案（可编辑） 一元二次方程的根 一、内容提要 一元二次方程ax2+bx+c0a?0的实数根,是由它的系数a, b, c的值确定的. 根公式是:x. b2-4ac?0 根的判别式 实系数方程ax2+bx+c0a?0有实数根的充分必要条件是: b2-4ac?0. 有理系数方程ax2+bx+c0a?0有有理数根的判定是: b2-4ac是完全平方式方程有有理数根. ?整系数方程x2+px+q0有两个整数根p2-4q是整数的平方数. 设x1, x2 是ax2+bx+c0的两个实数根,那么 ax12+bx1+c0 a?0,b2-4ac?0, ax22+bx2+c0 a?0, b2-4ac?0; x1, x2 a?0, b2-4ac?0; 韦达定理:x1+x2 , x1x2 a?0, b2-4ac?0. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax2+bx+c0 a?0有一个整数根x1的必要条件是:x1是c的因 数. 特殊的例子有: C0x10 , a+b+c0x11 , a-b+c0x1-1. 二、例题 已知:a, b, c是实数,且ab+c+1. 求证:两个方程x2+x+b0与x2+ax+c0中,至少有一个方程有两个不相等的实 数根. 证明 (用反证法) 设 两个方程都没有两个不相等的实数根, 那么?1?0和?2?0. 即 由?得b ?,b+1 ?代入?,得 a-cb+1?, 4c?4a-5 ? ?+?:a2-4a+5?0, 即(a-2)2+1?0,这是不能成立的. 既然?1?0和?2?0不能成立的,那么必有一个是大于0. ?方程x2+x+b0与x2+ax+c0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法:当?1+?20时,则?1和?2中至少有一个是正 数. 已知首项系数不相等的两个方程: (a-1)x2-a2+2x+a2+2a0和 b-1x2-b2+2x+b2+2b0 其中a,b为正整数 有一个公共根. 求a, b的值. 解:用因式分解法求得: 方程?的两个根是 a和; 方程?两根是b和. 由已知a1, b1且a?b. ?公共根是a 或b. 两个等式去分母后的结果是一样的. 即ab-ab+2,ab-a-b+13, a-1b-13 ?a,b都是正整数, ? ; 或. 解得; 或. 又解: 设公共根为x0那么 先消去二次项: ?×(b-1)-?×(a-1) 得 [-(a2+2)b-1+b2+2a-1]x0+a2+2ab-1-b2+2ba-10. 整理得 (a-b)ab-a-b-2x0-10. ?a?b ?x0=1; 或 ab-a-b-2=0. 当x0=1时,由方程?得 a1, ?a-10, ?方程?不是二次方程. ?x0不是公共根. 当ab-a-b-2=0时, 得a-1b-13 ……解法同上. 例3. 已知:m, n 是不相等的实数,方程x2+mx+n0的两根差与方程y2+ny+m0 的两根 差相等. 求:m+n 的值. 解:方程?两根差是 === 同理方程?两根差是 = 依题意,得=. 两边平方得:m2-4nn2-4m ?(m-n)m+n+40 ?m?n, ? m+n+4=0, m+n=-4. 例4. 若a, b, c都是奇数,则二次方程ax2+bx+c0a?0没有有理数根. 证明:设方程有一个有理数根(m, n 是互质的整数). 那么a2+b+c0, 即an2+bmn+cm20. 把m, n按奇数、偶数分类讨论, ?m, n互质,?不可能同为偶数. ? 当m, n同为奇数时,则an2+bmn+cm2是奇数+奇数+奇数=奇数?0; ? 当m为奇数, n为偶数时,an2+bmn+cm2是偶数+偶数+奇数=奇数?0; 当m为偶数, n为奇数时,an2+bmn+cm2是奇数+偶数+偶数=奇数?0. 综上所述 不论m, n取什么整数,方程a2+b+c0都不成立 即 假设方程有一个有 理数根是不成立的. ?当a, b, c都是奇数时,方程ax2+bx+c0a?0没有有理数根. 例5. 求证:对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的 周长比和面积比都等于k k?1. 证明:设矩形A的长为a, 宽为b,矩形B的长为c, 宽为d 根据题意, 得 . ?c+da+bk, cdabk 由韦达定理的逆定理,得 c, d 是方程z2-a+bkz+abk0 的两个根. =[-(a+b)k]2-4abk =(a2+2ab+b2)k2-4abk k[a2+2ab+b2k-4ab] ?k?1,a2+b2?2ab, ?a2+2ab+b2?4ab,a