2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案.docx

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案 （江南博哥） 1[单选题]当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是()． A. B. C. D. 正确答案：D 参考解析：  2[单选题] A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案：C 参考解析： x=0，x=2，x=1，x=-1为间断点． 3[单选题] A. B. C. D. 正确答案：A 参考解析： 令，则 4[单选题]已知函数f(x)=x2ln(1-x)，当n≥3时,f(n)(0)=()． A. B. C. D. 正确答案：A 参考解析： f(x)=x2ln(1-x)，n≥3． 5[单选题] A.4 B.3 C.2 D.1 正确答案：B 参考解析：  6[单选题]设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f(x)f(x)0，则 A. B. C. D. 正确答案：B 参考解析： 由f(x)f(x)0，x∈[-2，2]知?即[lnf(x)一x]0．令F(x)=lnf(x)-x，则F(x)在[-2，2]上单调递增．因为-2-1，所以F(-2)F(-1)，即lnf(2)+2lnf(-1)+1，?同理，-10，F(-1)F(0)，即ln?f(-1)+1ln?f(0)， 7[单选题]设四阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A12≠0，α1，α2，α3，α4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为()． A.x=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1，k2，k3为任意常数 B.x=k1α1+k2α2+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数 C.x=k1α1+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数 D.x=k1α2+k2α3+k3α4，其中k1，k2，k3为任意常数 正确答案：C 参考解析： 因为A不可逆，所以|A|=0．因为A12≠0，所以r（A）=3，则r(A*)=1，故A*x=0的基础解系有3个线性无关的解向量．因为A*A=|A|E=0．所以A的每一列都是A*x=0的解．又因为A12≠0，所以α1，α3，α4线性无关，故A*x=0的通解为x=k1α1+k2α3+k3α4，故选C项． 8[单选题]设A为三阶矩阵，α1，α2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，α3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为()． A.(α1+α3，α2，-α3) B.(α1+α2，α2，-α3) C.(α1+α3，-α3，α2) D.(α1+α2，-α3，α2) 正确答案：D 参考解析： Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=-α3．?所以P的1，3两列为1的线性无关的特征向量α1+α2，α2，P的第2列为A的属于-1的特征向量α3．则P=(α1+α2，-α3，α2)，故选D项． 9[填空题] 参考解析： 【解析】? 10[填空题] 参考解析： 【解析】?? 11[填空题] 参考解析： (π-1)dx-dy【解析】? 12[填空题] 斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为p，则该平板一侧所受的水的压力为________． 参考解析： 【解析】建立直角坐标系，如图所示．? 13[填空题] 参考解析： 1【解析】∵特征方程λ2+2λ+1=0， 14[填空题] 参考解析： a4—4a2【解析】? 15[简答题] 参考解析： ??因此，曲线的斜渐近线方程为 16[简答题] 已知函数f(x)连续，且，并证明g(x)在x=0处连续． 参考解析：  17[简答题] 求二元函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值． 参考解析： 求一阶导数可得??当x=0，y=0时，A=0，B=-1，C=0，AC—B20，故(0，0)不是极值点．当x=，y=时，A=1，B=-1，C=4，AC—B20，且A=10，故(，)是极小值点． 18[简答题] 参考解析： ?所以①×2-②×x2得? 19[简答题] 设平面区域D由直线x=1，x=2，y=x与x轴围成，计算 参考解析： 积分区域如下图所示．???? 20[简答题] 设函数，证明：(I)(Ⅱ) 参考解析： 证明：(I)构造辅助函数F(x)=f(x)(x-2)=(x-2)，显然F(1)=0，F(2)=0，又F(x)在[1，2]上连续，(1，2)上可导，由罗尔定理知ξ∈(1，2)，使得F’(ξ)=0． 21[简答题] 设函数f(x)可导，且f(x)0，曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点0，其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与▲MTP的面积